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Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2007, 02:20 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Construcción: Consideremos un rectángulo $TEX: $NOPR$$ . Prolongamos $TEX: $\overline {ON}$$ . Se obtiene el punto $TEX: $M$$ . Unamos $TEX: $M$$ con $TEX: $P$$ . Prolonguemos $TEX: $\overline {NR}$$ . Se obtiene el punto $TEX: $Q$$ . Trazamos $TEX: $\overline {QP} \perp \overline {MP}$$ , seguido de esto, se une $TEX: $M$$ con $TEX: $Q$$ . Sean $TEX: $\measuredangle {\text{ }}OMP = \alpha$ y $\measuredangle {\text{ }}QMP = \beta$$ . También tenemos que $TEX: \[<br />\measuredangle {\text{ }}OMP = \measuredangle {\text{ }}PQR = \alpha <br />\]$ Demostración: $TEX: $\measuredangle {\text{ }}OMP = \measuredangle {\text{ }}MPR = \alpha$ (alternos internos entre paralelas; $\overline {OM} \parallel \overline {PR}$ por construcci\'on). Por otra parte, $\measuredangle {\text{ }}MPR + \measuredangle {\text{ }}QPR = 90^\circ$, tambi\'en $\measuredangle {\text{ }}PQR + \measuredangle {\text{ }}QPR = 90^\circ$, con lo cual se concluye que $\measuredangle {\text{ }}OMP = \measuredangle {\text{ }}PQR = \alpha$.$ Seno de la suma o diferencia de ángulos $TEX: \[<br />\boxed{\operatorname{sen} (\alpha \pm \beta ) = \operatorname{sen} a \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }<br />\]$ Demostración: $TEX: En la presente figura, tenemos que:<br />$$\operatorname{sen} (\alpha + \beta) = \frac{{\overline {QN} }}{{\overline {QM} }} = \frac{{\overline {QR} + \overline {RN} }}{{\overline {QM} }} = \frac{{\overline {QR} }}{{\overline {QM} }} + \frac{{\overline {OP} }}{{\overline {QM} }}$$<br /><br />Multiplicando tanto numerador como denominador de la 1era. fracci\'on por $\overline {QP}$, y an\'alogamente, con $\overline {MP}$ para la 2da. fracci\'on, tendremos que:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \operatorname{sen} (\alpha + \beta) &= \frac{{\overline {QR} }}<br />{{\overline {QM} }} \cdot \frac{{\overline {QP} }}<br />{{\overline {QP} }} + \frac{{\overline {OP} }}<br />{{\overline {QM} }} \cdot \frac{{\overline {MP} }}<br />{{\overline {MP} }} \\ <br /> &= \frac{{\overline {QR} }}<br />{{\overline {QP} }} \cdot \frac{{\overline {QP} }}<br />{{\overline {QM} }} + \frac{{\overline {OP} }}<br />{{\overline {MP} }} \cdot \frac{{\overline {MP} }}<br />{{\overline {QM} }} \\ <br /> &= \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta + \operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta \\ <br /> &= \operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />Por otro lado, tenemos que $\operatorname{sen} (\alpha - \beta ) = \operatorname{sen} \left\{ {\alpha + ( - \beta )} \right\}$, luego:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \operatorname{sen} (\alpha - \beta ) &= \operatorname{sen} \alpha \cdot \cos ( - \beta ) + \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} ( - \beta ) \\ <br /> &= \operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />Finalmente:<br /><br />$$\boxed{\operatorname{sen} (\alpha \pm \beta ) = \operatorname{sen} a \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }$$$ Coseno de la suma o diferencia de ángulos $TEX: \[<br />\boxed{\cos (\alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }<br />\]$ Demostración: $TEX: $$\cos (\alpha + \beta ) = \frac{{\overline {MN} }}<br />{{\overline {QM} }} = \frac{{\overline {OM} - \overline {ON} }}<br />{{\overline {QM} }} = \frac{{\overline {OM} }}<br />{{\overline {QM} }} \cdot \frac{{\overline {MP} }}<br />{{\overline {MP} }} - \frac{{\overline {RP} }}<br />{{\overline {QM} }} \cdot \frac{{\overline {QP} }}<br />{{\overline {QP} }}$$<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \cos (\alpha + \beta ) &= \frac{{\overline {MP} }}<br />{{\overline {QM} }} \cdot \frac{{\overline {OM} }}<br />{{\overline {MP} }} - \frac{{\overline {QP} }}<br />{{\overline {QM} }} \cdot \frac{{\overline {RP} }}<br />{{\overline {QP} }} \\ <br /> &= \cos \beta \cdot \cos \alpha - \operatorname{sen} \beta \cdot \operatorname{sen} \alpha \\ <br /> &= \cos \alpha \cdot \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />Luego, $\cos (\alpha - \beta )$:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \cos (\alpha - \beta ) &= \cos \left\{ {\alpha + ( - \beta )} \right\} \\ <br /> &= \cos \alpha \cdot \cos ( - \beta ) - \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} ( - \beta ) \\ <br /> &= \cos \alpha \cdot \cos \beta + \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />Finalmente:<br /><br />$$\boxed{\cos (\alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }$$$ Tangente de la suma o diferencia de ángulos $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \tan (\alpha + \beta ) &= \dfrac{{\operatorname{sen} (\alpha + \beta )}}<br />{{\cos (\alpha + \beta )}} \\ <br /> &= \dfrac{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\cos \alpha \cdot \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }} \\ <br /> &= \dfrac{{\dfrac{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}}}<br />{{\dfrac{{\cos \alpha \cdot \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}}} \\ <br /> &= \dfrac{{\dfrac{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta }}<br />{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }} + \dfrac{{\cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}}}<br />{{\dfrac{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}<br />{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }} - \dfrac{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}}} \\ <br /> &= \dfrac{{\tan \alpha + \tan \beta }}<br />{{1 - \tan \alpha \cdot \tan \beta }} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \tan (\alpha - \beta ) &= \tan \left\{ {\alpha + ( - \beta )} \right\} \\ <br /> &= \frac{{\tan \alpha + \tan ( - \beta )}}<br />{{1 - \tan \alpha \cdot \tan ( - \beta )}} \\ <br /> &= \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}<br />{{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta }} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: \[<br />\boxed{\tan (\alpha \pm \beta ) = \frac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}<br />{{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }}}<br />\]$ Cotangente de la suma o diferencia de ángulos $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \cot (\alpha + \beta ) &= \frac{{\cos (\alpha + \beta )}}<br />{{\operatorname{sen} (\alpha + \beta )}} \\ <br /> &= \frac{{\cos \alpha \cdot \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }} \\ <br /> &= \dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha \cdot \cos \beta - \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}}}<br />{{\dfrac{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta }}}} \\ <br /> &= \frac{{\cot \alpha \cdot \cot \beta - 1}}<br />{{\cot \alpha + \cot \beta }} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ $TEX: \[<br />\cot (\alpha - \beta ) = \frac{{\cot \alpha \cdot \cot \beta + 1}}<br />{{\cot \beta - \cot \alpha }}<br />\]$ $TEX: \[<br />\boxed{\cot (\alpha \pm \beta ) = \frac{{\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}}<br />{{\cot \beta \pm \cot \alpha }}}<br />\]$ Resumen: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \operatorname{sen} (\alpha \pm \beta ) &= \operatorname{sen} \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta \\ <br /> \cos (\alpha \pm \beta ) &= \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \operatorname{sen} \alpha \cdot \operatorname{sen} \beta \\ <br /> \tan (\alpha \pm \beta ) &= \frac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}<br />{{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }} \\ <br /> \csc (\alpha \pm \beta) &= \frac{1}<br />{{\operatorname{sen} (\alpha \pm \beta )}} \\ <br /> \sec (\alpha \pm \beta) &= \frac{1}<br />{{\cos (\alpha \pm \beta )}} \\ <br /> \cot (\alpha \pm \beta ) &= \frac{{\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}}<br />{{\cot \beta \pm \cot \alpha }} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$

Virus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2007, 12:46 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 14-October 07 Desde: La prisión de vidrio Miembro Nº: 11.284 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sabes cómo demostrar?: $TEX: $sen(a+b)$ = sen $\dfrac{{a+b}}{{2}}$ x cos $\dfrac{{a-b}}{{2}}$$ $TEX: $sen(a-b)$ = sen $\dfrac{{a-b}}{{2}}$ x cos $\dfrac{{a+b}}{{2}}$$ $TEX: $cos(a+b)$ = cos $\dfrac{{a+b}}{{2}}$ x cos $\dfrac{{a-b}}{{2}}$$ $TEX: $cos(a-b)$ = -sen $\dfrac{{a+b}}{{2}}$ x sen $\dfrac{{a-b}}{{2}}$$ Mensaje modificado por Virus el Oct 14 2007, 12:50 PM -------------------- Felipe Vera A. Ingeniería Civil Electrónica 2009 UTFSM y Ayudante de MAT022 Agradecer no cuesta nada. Es más, entusiasma para seguir aportando. ;)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2007, 11:38 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Aquí una discusión sobre ello.

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 20 2008, 10:33 AM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	la otra ves pensando tonteras en la micro hize lo siguiente: por la formula de Euler: $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyzamaaCa<br />% aaleqabaGaamyAaiaadIhaaaGccqGH9aqpciGGJbGaai4Baiaacoha<br />% caWG4bGaey4kaSIaamyAaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaadIhaaaa!4374!<br />$$<br />e^{ix} = \cos x + i\sin x<br />$$<br />$ $TEX: <br />pero se tiene que:<br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaci4yaiaac+<br />% gacaGGZbGaaiikaiaadIhacqGHRaWkcaWG5bGaaiykaiabgUcaRiaa<br />% dMgaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOaGaamiEaiabgUcaRiaadMhaca<br />% GGPaGaeyypa0JaamyzamaaCaaaleqabaGaamyAaiaacIcacaWG5bGa<br />% ey4kaSIaamiEaiaacMcaaaGccqGH9aqpcaWGLbWaaWbaaSqabeaaca<br />% WGPbGaamyEaaaakiaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaWG4baaaOGa<br />% eyypa0JaaiikaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadMhacqGHRaWkcaWGPb<br />% Gaci4CaiaacMgacaGGUbGaamyEaiaacMcacaGGOaGaci4yaiaac+ga<br />% caGGZbGaamiEaiabgUcaRiaadMgaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG4b<br />% Gaaiykaaaa!6AE2!<br />$$<br />\cos (x + y) + i\sin (x + y) = e^{i(y + x)} = e^{iy} e^{ix} = (\cos y + i\sin y)(\cos x + i\sin x)<br />$$<br /><br />$ luego: $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiGaco<br />% gacaGGVbGaai4CaiaadMhacqGHRaWkcaWGPbGaci4CaiaacMgacaGG<br />% UbGaamyEaiaacMcacaGGOaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiEaiabgU<br />% caRiaadMgaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG4bGaaiykaiabg2da9iGa<br />% cogacaGGVbGaai4CaiaacIcacaWG4bGaey4kaSIaamyEaiaacMcacq<br />% GHRaWkcaWGPbGaci4CaiaacMgacaGGUbGaaiikaiaadIhacqGHRaWk<br />% caWG5bGaaiykaaaa!5C78!<br />$$<br />(\cos y + i\sin y)(\cos x + i\sin x) = \cos (x + y) + i\sin (x + y)<br />$$<br /><br /><br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiGaco<br />% gacaGGVbGaai4CaiaadMhaciGGJbGaai4BaiaacohacaWG4bGaeyOe<br />% I0Iaci4CaiaacMgacaGGUbGaamiEaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaadM<br />% hacaGGPaGaey4kaSIaamyAaiaacIcaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG<br />% 4bGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamyEaiabgUcaRiGacohacaGGPbGaai<br />% OBaiaadMhaciGGJbGaai4BaiaacohacaWG4bGaaiykaiabg2da9iGa<br />% cogacaGGVbGaai4CaiaacIcacaWG4bGaey4kaSIaamyEaiaacMcacq<br />% GHRaWkcaWGPbGaci4CaiaacMgacaGGUbGaaiikaiaadIhacqGHRaWk<br />% caWG5bGaaiykaaaa!6BC3!<br />$$<br />(\cos y\cos x - \sin x\sin y) + i(\sin x\cos y + \sin y\cos x) = \cos (x + y) + i\sin (x + y)<br />$$<br />$ igualando partes reales e imaginarias $TEX: <br /><br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaci4CaiaacM<br />% gacaGGUbGaaiikaiaadIhacqGHRaWkcaWG5bGaaiykaiabg2da9iaa<br />% cIcaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG4bGaci4yaiaac+gacaGGZbGaam<br />% yEaiabgUcaRiGacohacaGGPbGaaiOBaiaadMhaciGGJbGaai4Baiaa<br />% cohacaWG4bGaaiykaaaa!4F88!<br />$$<br />\sin (x + y) = (\sin x\cos y + \sin y\cos x)<br />$$<br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaci4yaiaac+<br />% gacaGGZbGaaiikaiaadIhacqGHRaWkcaWG5bGaaiykaiabg2da9iaa<br />% cIcaciGGJbGaai4BaiaacohacaWG5bGaci4yaiaac+gacaGGZbGaam<br />% iEaiabgkHiTiGacohacaGGPbGaaiOBaiaadIhaciGGZbGaaiyAaiaa<br />% c6gacaWG5bGaaiykaaaa!4F8E!<br />$$<br />\cos (x + y) = (\cos y\cos x - \sin x\sin y)<br />$$<br />$ aunke encuentro esta demostracion bastante trucha , por eso me gusta mas la k puso krizalid Mensaje modificado por febomon el Dec 20 2008, 10:36 AM

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