Integrales para soltar la mano

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Cálculo > Integrales

7 Páginas:

< 1 2 3 4 5 > »

Integrales para soltar la mano, recolectando problemitas

Opciones

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2008, 11:20 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Sep 2 2008, 09:29 AM) Véase el caso general del problema anterior aquí. No sabía que el caso más general ya había sido posteado, gracias por avisar. Veamos otros ejercicios. Probar que $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\left( {\frac{x}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right)} ^2 dx = \frac{2}{\pi }$$$ . Primero, nos conviene observar el numerador. ¿Qué observamos?, hay funciones trigonométricas definidas en $TEX: $$x$$$ y factores $TEX: $$x$$$ . Entonces, ¿podemos transformar el numerador en algo más familiar, que nos pueda ayudar?. La respuesta es sí. Segundo, para convencernos de nuestra respuesta podemos hacer la siguiente operación en el numerador. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x^2 }}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} = \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x^2 \sin ^2 \left( x \right) + x^2 \cos ^2 \left( x \right) + x\sin \left( x \right)\cos \left( x \right) - x\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)}}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} $$$ Tercero, nuevamente jugamos algebraicamente con el integrando, nos da lo siguiente. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x\sin \left( x \right)\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right) - x\cos \left( x \right)\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)}}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} $$$ Cuarto, podemos descomponer el juego algebraico en dos integrales. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x\sin \left( x \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}dx} - \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^\prime }}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} $$$ Quinto, resolvamos la segunda integral por partes. $TEX: $$ - \left. {\frac{{\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} + \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x\sin \left( x \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}dx} $$$ Entonces, la integral nos queda de la siguiente forma. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x^2 }}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} = \left. {\frac{{\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} $$$ Evaluando obtenemos lo esperado. Probar que $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = 1 + \ln \left( 2 \right)$$$ . Hacemos las siguientes operaciones. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\frac{{1 + 2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)}}{{\cos ^2 \left( x \right)}}dx} = \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\sec ^2 \left( x \right) + 2\tan \left( x \right)} \right)dx} $$$ $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\sec ^2 \left( x \right) + 2\tan \left( x \right)} \right)dx} = \left. {\left( {\tan \left( x \right) - 2\ln \left\| {\cos \left( x \right)} \right\|} \right)} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} $$$ Evaluando se obtiene lo esperado. Probar que $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\cos \left( x \right)}}{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = \frac{{1 + \ln \left( 2 \right)}}{4}$$$ . Primero, podemos comprobar lo siguiente. $TEX: $$\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right),\cos \left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right)$$$ Segundo, aplicando estas dos igualdades al integrando y haciendo un par de operaciones elementales, obtenos lo siguiente. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\cos \left( x \right)}}{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = \frac{1}{4}\left. {\left( { - \frac{1}{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)}} + 2\ln \left( {\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + x} \right)} \right)} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} $$$ Evaluando obtenemos lo esperado. Esto es todo por ahora. -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Lican Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2008, 02:40 AM Publicado: #22
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 384 Registrado: 3-June 07 Miembro Nº: 6.396 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(neo shykerex @ Sep 4 2008, 01:10 AM) No sabía que el caso más general ya había sido posteado, gracias por avisar. Veamos otros ejercicios. Probar que $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\left( {\frac{x}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right)} ^2 dx = \frac{2}{\pi }$$$ . Primero, nos conviene observar el numerador. ¿Qué observamos?, hay funciones trigonométricas definidas en $TEX: $$x$$$ y factores $TEX: $$x$$$ . Entonces, ¿podemos transformar el numerador en algo más familiar, que nos pueda ayudar?. La respuesta es sí. Segundo, para convencernos de nuestra respuesta podemos hacer la siguiente operación en el numerador. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x^2 }}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} = \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x^2 \sin ^2 \left( x \right) + x^2 \cos ^2 \left( x \right) + x\sin \left( x \right)\cos \left( x \right) - x\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)}}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} $$$ Tercero, nuevamente jugamos algebraicamente con el integrando, nos da lo siguiente. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x\sin \left( x \right)\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right) - x\cos \left( x \right)\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)}}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} $$$ Cuarto, podemos descomponer el juego algebraico en dos integrales. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x\sin \left( x \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}dx} - \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^\prime }}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} $$$ Quinto, resolvamos la segunda integral por partes. $TEX: $$ - \left. {\frac{{\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} + \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x\sin \left( x \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}dx} $$$ Entonces, la integral nos queda de la siguiente forma. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {\frac{{x^2 }}{{\left( {x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right)^2 }}dx} = \left. {\frac{{\left( {\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)} \right)}}{{x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} $$$ Evaluando obtenemos lo esperado. Probar que $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = 1 + \ln \left( 2 \right)$$$ . Hacemos las siguientes operaciones. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\frac{{1 + 2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)}}{{\cos ^2 \left( x \right)}}dx} = \int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\sec ^2 \left( x \right) + 2\tan \left( x \right)} \right)dx} $$$ $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\sec ^2 \left( x \right) + 2\tan \left( x \right)} \right)dx} = \left. {\left( {\tan \left( x \right) - 2\ln \left\| {\cos \left( x \right)} \right\|} \right)} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} $$$ Evaluando se obtiene lo esperado. Probar que $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\cos \left( x \right)}}{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = \frac{{1 + \ln \left( 2 \right)}}{4}$$$ . Primero, podemos comprobar lo siguiente. $TEX: $$\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right),\cos \left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right)$$$ Segundo, aplicando estas dos igualdades al integrando y haciendo un par de operaciones elementales, obtenos lo siguiente. $TEX: $$\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} {\left( {\frac{{\cos \left( x \right)}}{{\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}} \right)^2 dx} = \frac{1}{4}\left. {\left( { - \frac{1}{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)}} + 2\ln \left( {\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + x} \right)} \right)} \right\|_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 4$}}} $$$ Evaluando obtenemos lo esperado. Esto es todo por ahora. jaja, muy buenas.. no se me habria ocurrido gracias por escribir tanto rato en latex XD

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2008, 04:27 PM Publicado: #23
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	aqui otro de una guia de por ahi xD $TEX: \[<br />\int {\frac{{dx}}<br />{{x\ln \left( x \right)\left( {\ln ^2 \left( x \right) + 1} \right)}}} <br />\]<br />$ definamos el cambio de variable $TEX: \[<br />u = \ln \left( x \right)<br />\]<br />$ por lo tanto tenemos que $TEX: \[<br />du = \frac{{dx}}<br />{x}<br />\]<br />$ luego, la integral es equivalente a $TEX: \[<br />\int {\frac{{du}}<br />{{u\left( {u^2 + 1} \right)}}} <br />\]<br />$ por una descomposicion es sumas simples, que no anotaré aqui, se tiene que : $TEX: \[<br />\int {\frac{{du}}<br />{{u\left( {u^2 + 1} \right)}}} = - \int {\frac{{udu}}<br />{{u^2 + 1}}} + \int {\frac{{du}}<br />{u}} <br />\]<br />$ estas dos integrales son sencillas e integrando se tiene $TEX: \[<br />\int {\frac{{du}}<br />{{u\left( {u^2 + 1} \right)}}} = \frac{{ - 1}}<br />{2}\ln \left\| {u^2 + 1} \right\| + \ln \left\| u \right\| + C<br />\]<br />$ por lo tanto, reestableciendo las variables: $TEX: \[<br />\int {\frac{{dx}}<br />{{x\ln \left( x \right)\left( {\ln ^2 \left( x \right) + 1} \right)}}} = \frac{{ - 1}}<br />{2}\ln \left\| {\ln ^2 \left\| x \right\| + 1} \right\| + \ln \left\| {\ln \left\| x \right\|} \right\| + C;C \in \mathbb{R}<br />\]<br />$ eso seria. yo voy a seguir haciendo ejercciios, sigan posteando -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2008, 04:43 PM Publicado: #24
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(kbzoon @ Sep 6 2008, 04:17 PM) luego, la integral es equivalente a $TEX: \[<br />\int {\frac{{du}}<br />{{u\left( {u^2 + 1} \right)}}} <br />\]<br />$ por una descomposicion es sumas simples, que no anotaré aqui, Será porque nos dio flojera hacer toda la metódica? xD xD En cualquier caso, no es nada del otro mundo, observe que $TEX: $$\frac{1}{u\left( u^{2}+1 \right)}=\frac{u^{2}+1-u^{2}}{u\left( u^{2}+1 \right)}=\frac{1}{u}-\frac{u}{u^{2}+1},$$$ y con eso estamos listos. QUOTE(kbzoon @ Sep 6 2008, 04:17 PM) $TEX: \[\ln \left\| {\ln ^2 \left\| x \right\| + 1} \right\|<br />\]<br />$ Supongo que ya sabes qué es lo que viene... xD xD Saludos

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2008, 04:47 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Sep 6 2008, 05:33 PM) Será porque nos dio flojera hacer toda la metódica? xD xD la verdad, sí xD xD esta weno tu aporte, no descompuse la suma tan sexymente xD CITA(Krizalid @ Sep 6 2008, 05:33 PM) En cualquier caso, no es nada del otro mundo, observe que $TEX: $$\frac{1}{u\left( u^{2}+1 \right)}=\frac{u^{2}+1-u^{2}}{u\left( u^{2}+1 \right)}=\frac{1}{u}-\frac{u}{u^{2}+1},$$$ y con eso estamos listos. Supongo que ya sabes qué es lo que viene... xD xD Saludos jkajka como digo, es la inercia...xD en cualkier caso, edito aqui dicciendo que $TEX: \[<br />\ln \left\| {\ln ^2 \left\| x \right\| + 1} \right\| = \ln \left( {\ln ^2 \left\| x \right\| + 1} \right)<br />\]<br />$ puesto que el argumento dl logaritmo es siempre un real positivo..xD saludos -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

liam_gallagher Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2008, 03:47 AM Publicado: #26
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 201 Registrado: 10-September 07 Desde: Las Palmeras Miembro Nº: 10.045 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Sep 1 2008, 11:24 PM) Puedo jugar? Evalúe $TEX: $$\int_{0}^{1}{x\operatorname{arctg}x\,dx}.$$$ Solución: $TEX: $$\operatorname{arctg}x=\int_{0}^{x}{\frac{dy}{1+y^{2}}},$$$ así que $TEX: $$\int_{0}^{1}{x\operatorname{arctg}x\,dx}=\int_{0}^{1}\!{\int_{0}^{x}{\frac{x}{1+y^{2}}\,dy}\,dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}\,dy}=\frac{\pi -2}{4}.$$$ En cuanto vi este caso, pensé "sería bueno poner también derivadas de integrales usando funciones compuestas que ayudan bastante a algunos cálculos" y bueno aqui van dos muy simples que son para orientar: $TEX: Derive:<br />\\<br />\\<br />$f(x)$ $=$ $\displaystyle \int_{a}^{\displaystyle \int_{a}^{x} \frac{1}{1 + {sen}^2y} dy} \dfrac{1}{1+{sen}^2y } dy$$ $TEX: Si $F(x)$ $=$ $\displaystyle \int_{a}^{x} \frac{1}{1 + {sen}^2y} dy$<br />\\<br />\\<br />Entonces:<br />\\<br />\\<br />$f(x)$ $=$ $F(F(x))$<br />\\<br />\\<br />$f(x)$ $=$ $F'(F(x)) F'(x)$<br />\\<br />\\<br />$f'(x)$ $=$ $\displaystyle \dfrac{1}{1+{sen}^2 \left[\displaystyle \int_{a}^{x} \frac{1}{1 + {sen}^2y}dy \right] }$ · $\dfrac{1}{1 + {sen}^2x}$$ $TEX: Derive:<br />\\<br />\\<br />$f(x)$ $=$ $\displaystyle \int_{a}^{\left[ \displaystyle \int_{a}^{3x^2} \frac{1}{1 + t^2 {sen}^2t} dt \right]} \dfrac{1}{1+{sen}^2y } dy$$ $TEX: De la misma forma si:<br />\\<br />\\<br />$F(x)$ $=$ $\displaystyle \int_{a}^{x} \frac{1}{1 + {sen}^2y} dy$<br />\\<br />\\<br />$G(x)$ $=$ $\displaystyle \int_{a}^{x} \frac{1}{1 + t^2{sen}^2t} dt$<br />\\<br />\\<br />$H(x)$ $=$ $3x^2$<br />\\<br />\\<br />Entonces:<br />\\<br />\\<br />$f(x)$ $=$ $F(G(H(x)))$<br />\\<br />\\<br />$f(x)$ $=$ $F'(G(H(x))) G'(H(x))H'(x)$<br />\\<br />\\<br />$f'(x)$ $=$ $\displaystyle \dfrac{1}{1+{sen}^2 \left[\displaystyle \int_{a}^{3x^2} \dfrac{1}{1 + t^2{sen}^2t}dt \right]}$· $\dfrac{1}{1 +{\left[3x^2\right]}^2{sen}^2x^3}$·$6x$$ Y una como repaso (esta me la propuso mi profe de mate en 4º medio, la encontre muy buena, porque hay álgebra, sustitución, fracciones parciales y trigonómétricas): $TEX: Integre:<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int \dfrac{2x^7 + 5x^6 + 13x^5 + 20x^4 + 21x^3 + 16x^2 + 7x + 4}{x^8 + 2x^7 + 2x^6 - 2x^5 - 4x^4 - 4x^3 + x^2 + 2x + 2}dx$$ $TEX: Utilizando un poco de algebra en el denominador:<br />\\<br />\\<br />$x^8 + 2x^7 + 2x^6 - 2x^5 - 4x^4 - 4x^3 + x^2 + 2x + 2$ $=$ $x^6 \left(x^2 + 2x + 2\right) - 2x^3\left(x^2 + 2x + 2\right) + \left(x^2 + 2x + 2\right)$<br />\\<br />\\<br />$x^8 + 2x^7 + 2x^6 - 2x^5 - 4x^4 - 4x^3 + x^2 + 2x + 2$ $=$ $\left(x^2 + 2x + 2\right) \left(x^6 - 2x^3 + 1 \right)$<br />\\<br />\\<br />\\<br />Hacemos un arreglo (toma un poco de tiempo en darse cuenta):<br />\\<br />\\<br />$\left(x^2 + 2x + 2\right) \left(x^6 - 2x^3 + 1 \right)$ $=$ $\left(x^2 + 2x + 2\right) \left(x^6 - 2x^3 + 1 + 2x^5 - 2x^5 + 4x^4 - 4x^4... \right)$<br />\\<br />$\left(...+ 4x^3 - 4x^3 + 4x^2 - 4x^2 + 2x - 2x \right)$<br />\\<br />\\<br />$\left(x^2 + 2x + 2\right) \left(x^6 - 2x^3 + 1 \right)$ $=$ $\left(x^2 + 2x + 2\right) \left(x^6 - 2x^5 + x^4 + 2x^5 - 4x^4 + 2x^3 + 3x^4 - 6x^3 + 3x^2...\right)$ <br />\\<br />$\left(... + 2x^3 - 4x^2 + 2x + x^2 - x^2 + 1 \right)\left(x^2 + 2x + 2\right)$<br />\\<br />\\<br />$\left(x^2 + 2x + 2\right) \left(x^6 - 2x^3 + 1 \right)$ $=$ $\left( x^4 \left(x^2 - 2x + 1\right) + 2x^3 \left(x^2 - 2x + 1\right)... \right)<br />\\<br />\left(... + 3x^2 \left(x^2 - 2x + 1\right) + 2x \left(x^2 - 2x + 1\right) + \left(x^2 - 2x + 1\right) \right) \left(x^2 + 2x + 2\right)$<br />\\<br />\\<br />$\left(x^2 + 2x + 2\right) \left(x^6 - 2x^3 + 1 \right)$ $=$ $\left(x^2 + 2x + 2\right) {\left(x^2 + x + 1 \right)}^{2} {(x-1)}^2$ (1)$ $TEX: Volviendo a lo nuestro, sea $I$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{2x^7 + 5x^6 + 13x^5 + 20x^4 + 21x^3 + 16x^2 + 7x + 4}{x^8 + 2x^7 + 2x^6 - 2x^5 - 4x^4 - 4x^3 + x^2 + 2x + 2}dx$<br />\\<br />\\<br />Utilizando el valor obtenido en (1) llegamos a:<br />\\<br />\\<br />$I$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{2x^7 + 5x^6 + 13x^5 + 20x^4 + 21x^3 + 16x^2 + 7x + 4}{\left(x^2 + 2x + 2\right) {\left(x^2 + x + 1 \right)}^{2} {(x-1)}^2}dx$$ $TEX: Utilizando fracciones parciales llegamos a:<br />\\<br />\\<br />$I$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{1}{x-1}dx$ + $\displaystyle \int \dfrac{2}{{(x-1)}^2}dx$ + $\displaystyle \int \dfrac{1}{{(x^2 + x + 1)}^2}dx$ + $\displaystyle \int \dfrac{x+3}{x^2 + 2x + 2}dx$<br />\\<br />\\<br />$I$ $=$ $I_A$ + $I_B$ + $I_C$ + $I_D$<br />\\<br />\\<br />\\<br />Donde:<br />\\<br />\\<br />$I_A$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{1}{x-1}dx$ $=$ $log(x-1) + A$<br />\\<br />\\<br />$I_B$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{2}{{(x-1)}^2}dx$ $=$ $\dfrac{-2}{x-1} + B$$ Abajo sigo con el desarrollo de esta última integral. Mensaje modificado por liam_gallagher el Sep 8 2008, 01:59 AM -------------------- Estudiante de tercer año de licenciatura en ciencias con mención en matemáticas - Universidad de Chile

liam_gallagher Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2008, 01:57 AM Publicado: #27
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 201 Registrado: 10-September 07 Desde: Las Palmeras Miembro Nº: 10.045 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aquí la continuación... $TEX: Seguimos con las otras dos:<br />\\<br />\\<br />$I_C$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{1}{{(x^2 + x + 1)}^2}dx$<br />\\<br />\\<br />$I_C$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{1}{{\left({(x + \frac{1}{2})}^2 + \frac{3}{4}\right)}^2}dx$<br />\\<br />\\<br />$I_C$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{1}{{\left[{\left(\dfrac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}^2 + 1 \right]}^2}dx$<br />\\<br />\\<br />$I_C$ $=$ $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{\frac{3}{4}}}{3}\int \dfrac{1}{{(u^2 + 1)}^2}du$<br />\\<br />\\<br />$I_C$ $=$ $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{\frac{3}{4}}}{6} \left[ \dfrac{u}{u^2 + 1} + \int \dfrac{1}{u^2 + 1} du \right]$<br />\\<br />\\<br />$I_C$ $=$ $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{\frac{3}{4}}}{6} \left[ \dfrac{u}{u^2 + 1} + arctan\left(u^2 + 1\right) \right]$<br />\\<br />\\<br />$I_C$ $=$ $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{\frac{3}{4}}}{6} \left[ \dfrac{\left(\dfrac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}{{\left(\dfrac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}^2 + 1} + arctan\left({\left(\dfrac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}^2 + 1\right) \right] + C$$ $TEX: Y la última:<br />\\<br />\\<br />$I_D$ $=$ $\displaystyle \int \dfrac{x+3}{x^2 + 2x + 2} dx$<br />\\<br />\\<br />$I_D$ $=$ $\displaystyle \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x+2}{x^2 + 2x + 2} dx + \int \dfrac{2}{{(x+1)}^2 + 1}dx$<br />\\<br />\\<br />$I_D$ $=$ $\displaystyle \dfrac{1}{2} log \left\|x^2 + 2x + 2\right\| + 2 arctan\left(x+1\right) + D$$ $TEX: Por lo tanto concluímos que el valor de $I$ es:<br />\\<br />\\<br />$I$ $=$ $ \left[ log \left\| x-1 \right\| \right] - \left[ \dfrac{2}{x-1} \right] + \displaystyle \dfrac{4\sqrt{\frac{3}{4}}}{6} \left[ \dfrac{\left(\dfrac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}{{\left(\dfrac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}^2 + 1} + arctan\left({\left(\dfrac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}^2 + 1\right) \right] + \left[ \dfrac{1}{2} log \left\|x^2 + 2x + 2\right\| + 2 arctan\left(x+1\right) \right] + K$$ Y de pasada una que siempre aparece por todos lados (más en física, o también al hacer sustituciones trigonométricas): $TEX: $\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$$ $TEX: Tenemos la integral:<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$ $=$ $\displaystyle \int {sec}^2(x)sec(x)dx$<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$ $=$ $\displaystyle \int \left({tg}^2(x) + 1 \right) sec(x)dx$<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$ $=$ $\displaystyle \int{tg}^2(x)sec(x)dx + \int sec(x)\left(\dfrac{1}{1}\right)dx$<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$ $=$ $\displaystyle \int tg(x) tg(x) sec(x)dx + \int sec(x)\left(\dfrac{sec(x) + tg(x)}{sec(x) + tg(x)}\right)dx$<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$ $=$ $\displaystyle \left[ \int tg(x) \left(sec(x)\right)'dx \right] + \left[ \int \dfrac{{sec}^2(x) + tg(x)sec(x)}{tg(x) + sec(x)} dx \right]$<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$ $=$ $\displaystyle \left[ tg(x)sec(x) - \int {sec}^3(x)dx \right] + \left[ \int \dfrac{\left(tg(x) + sec(x)\right)'}{tg(x) + sec(x)} dx \right]$<br />\\<br />\\<br />$\displaystyle \int {sec}^3(x)dx$ $=$ $\displaystyle \dfrac{1}{2} \left[tg(x)sec(x) + log \left\|tg(x) + sec(x)\right\| \right] + K$$ Saludos, espero haber aportado algo al deporte integral. -------------------- Estudiante de tercer año de licenciatura en ciencias con mención en matemáticas - Universidad de Chile

Gazoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2008, 12:44 PM Publicado: #28
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.112 Registrado: 21-December 05 Desde: El Bosque - Stgo Miembro Nº: 473 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Jajaj grande profe Pezo, se voló con la integral de arriba, Jaure xD. Aquí una con unos pasos medio truculentos, pero que sale rápido, por si a alguien le sirve: Calcular $TEX: \[<br />\int {\frac{{\sqrt {1 - x} }}<br />{{1 - \sqrt x }}dx} <br />\]<br /><br />$ Sol: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int {\frac{{\sqrt {1 - x} }}<br />{{1 - \sqrt x }}dx} = \int {\frac{{\sqrt {1 - x} \left( {1 + \sqrt x } \right)}}<br />{{1 - x}}} dx = \int {\frac{{1 + \sqrt x }}<br />{{\sqrt {1 - x} }}} dx = \int {\left( {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 - x} }} - \frac{{ - 2x}}<br />{{2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} }}} \right)} dx \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \int {\left( {\frac{1}<br />{{\sqrt {1 - x} }} - \frac{{1 - 2x}}<br />{{2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} }} + \frac{{\frac{1}<br />{{2\sqrt x }}}}<br />{{\sqrt {1 - x} }}} \right)} dx = \boxed{ - 2\sqrt {1 - x} - \sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + \arcsin \sqrt x } \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- "El sentido común es el conjunto de todos los prejuicios adquiridos antes de los 18 años" A. Einstein. Estudiante Ingeniería Civil Eléctrica - DIE USACH

Gazoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 8 2008, 12:56 PM Publicado: #29
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.112 Registrado: 21-December 05 Desde: El Bosque - Stgo Miembro Nº: 473 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Calcular $TEX: \[<br />\int {\log \left( {a^2 + x^2 } \right)} dx<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Integrando por Partes}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \int {\log \left( {a^2 + x^2 } \right)} dx = x\log \left( {a^2 + x^2 } \right) - \int {\left( {\frac{{2x^2 }}<br />{{a^2 + x^2 }}} \right)} dx = \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> x\log \left( {a^2 + x^2 } \right) - \int {\left( {2 - \frac{2}<br />{{\left( {\frac{x}<br />{a}} \right)^2 + 1}}} \right)} dx = \boxed{x\log \left( {a^2 + x^2 } \right) - 2x + 2a\arctan \frac{x}<br />{a}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- "El sentido común es el conjunto de todos los prejuicios adquiridos antes de los 18 años" A. Einstein. Estudiante Ingeniería Civil Eléctrica - DIE USACH

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2008, 02:07 AM Publicado: #30
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hay cada vez más interesados en participar, excelente. Veamos otros ejercicio. Probar que $TEX: $$\int_0^{2\varphi } {\left( {2\varphi x - x^2 } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 3$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} } \arccos \left( {1 - \frac{x}{\varphi }} \right)dx = \frac{3}{{16}}\pi ^2 \varphi ^4 $$$ . Ahora es cuando podemos aplicar algunas propiedades de la integral. Probemos que $TEX: $$\int_a^b {f\left( x \right)} dx = \int_a^b {f\left( {a + b - x} \right)} dx$$$ . Demostración Haciendo un cambio de variable adecuado, $TEX: $$\xi = a + b - x,dx = - d\xi $$$ . Entonces, se obtiene lo siguiente. $TEX: $$\int_a^b {f\left( x \right)} dx = - \int_b^a {f\left( {a + b - \xi } \right)} d\xi = \int_a^b {f\left( {a + b - \xi } \right)} d\xi $$$ Como la variable es "muda" obtenemos lo esperado. Regresando al ejercicio, si aplicamos la propiedad previamente demostrada obtenemos lo siguiente. $TEX: $$\int_0^{2\varphi } {\left( {2\varphi x - x^2 } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 3$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} } \arccos \left( {1 - \frac{x}{\varphi }} \right)dx = \int_0^{2\varphi } {\left( {2\varphi x - x^2 } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 3$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} } \arccos \left( {\frac{x}{\varphi } - 1} \right)dx$$$ "A veces la Física se lleva bien con la Matemática", piensen en esa frase para comprender el fundamento analítico detrás de la igualdad previa. ¿Qué gracia tiene esa igualdad?, probando que $TEX: $$\arccos \left( {1 - \frac{x}{\varphi }} \right) + \arccos \left( {\frac{x}{\varphi } - 1} \right) = \pi $$$ tenemos lo siguiente. $TEX: $$\int_0^{2\varphi } {\left( {2\varphi x - x^2 } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 3$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} } \arccos \left( {1 - \frac{x}{\varphi }} \right)dx + \int_0^{2\varphi } {\left( {2\varphi x - x^2 } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 3$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} } \arccos \left( {\frac{x}{\varphi } - 1} \right)dx = \pi \int_0^{2a} {\left( {2\varphi x - x^2 } \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 3$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} }$$$ Evaluando esa integral se obtiene lo esperado. Esto es todo por ahora. Mensaje modificado por neo shykerex el Sep 12 2008, 12:27 AM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

« Posterior · Integrales · Anterior »

7 Páginas:

< 1 2 3 4 5 > »

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 07:40 PM