 Propuesto 135 |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Cálculo > Integrales  |
 Oct 28 2007, 06:26 PM
Publicado:
#1
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad:  Sexo:   |
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Nov 24 2007, 10:56 AM
Publicado:
#2
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
Hint para Solución #1:
Hint para Solución #2: |
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puede formar parte importante en la solución del problema 
Derivar es una técnica
 Dec 12 2007, 03:07 PM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
CITA(Krizalid @ Nov 24 2007, 01:56 PM)  Hint para Solución #1: Hint para Solución #2: Se sabe que ![TEX: \[<br />\int\limits_a^b {x^t dt} = \left. {\frac{{x^t }}<br />{{\ln x}}} \right|_a^b = \frac{{x^b - x^a }}<br />{{\ln x}}<br />\]](./tex/aeab4eab0c8c31a3229d3c40924a9c17.png) Luego, la integral que se pide calcular se puede expresar como ![TEX: \[<br />\int\limits_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\int\limits_b^a {x^t dt} } \right)} dx<br />\]](./tex/2a233323335011493139b3a2494992f8.png) Cambiando los límites de integración (se trata de un rectángulo, de modo que el cambio es trivial), y resolviendo la integral iterada, se llega finalmente a que: ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int\limits_0^1 {\left( {\int\limits_b^a {x^t dt} } \right)} dx = \int\limits_b^a {\left( {\int\limits_0^1 {x^t dx} } \right)} dt = \int\limits_b^a {\left( {\left. {\frac{{x^{t + 1} }}<br />{{t + 1}}} \right|_0^1 } \right)dt} = \int\limits_b^a {\frac{1}<br />{{t + 1}}dt} = \left. {\ln \left( {t + 1} \right)} \right|_b^a = \hfill \\<br /> = \ln \left( {a + 1} \right) - \ln \left( {b + 1} \right) = \ln \left( {\frac{{a + 1}}<br />{{b + 1}}} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/a8df6250f2dbe700ac303c72c4e438a2.png) 
Mensaje modificado por Krizalid el Mar 10 2008, 01:00 PM -------------------- |
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puede formar parte importante en la solución del problema 
Derivar es una técnica 
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Dec 12 2007, 03:58 PM
Publicado:
#4
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
Bien
 Esa era la solución que esperaba  Saludos 
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Sep 3 2008, 12:11 AM
Publicado:
#5
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 Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 384 Registrado: 3-June 07 Miembro Nº: 6.396 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
no entiendo a que te refieres con "se trata de un rectangulo, de modo que el cambio es trivial".
y lo otro.. es siempre cierto que ![TEX: \[<br />\int\limits_a^b {\left( {\int\limits_c^d {f(t)dt} } \right)} dx = \int\limits_c^d {\left( {\int\limits_a^b {f(t)dx} } \right)} dt<br />\]<br />](./tex/babd2a958b3f3a4cfe2a79b998d60a82.png) ?lo demás creo que lo entendí bien Muchas gracias |
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Sep 3 2008, 12:25 AM
Publicado:
#6
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
Busca por "Teorema de Fubini."
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Sep 3 2008, 01:29 AM
Publicado:
#7
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 384 Registrado: 3-June 07 Miembro Nº: 6.396 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Jaja, lo lei y parece que no estoy listo para eso
gracias por responder de todas formas |
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Oct 23 2008, 04:08 PM
Publicado:
#8
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
me pongo con la otra solución
 :consideremos la función : ![TEX: \[<br />I\left( a \right) = \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />](./tex/a2bd45eadcc0102c9cdcc1e91cf5ba11.png) ![TEX: \[<br /> \Rightarrow \frac{{dI\left( a \right)}}<br />{{da}}\underbrace = _{leibniz}\int_0^1 {\frac{\partial }<br />{{\partial a}}} \left\{ {\frac{{x^a }}<br />{{\ln x}} - \frac{{x^b }}<br />{{\ln x}}} \right\}dx = \int_0^1 {x^a } dx = \frac{1}<br />{{a + 1}}<br />\]<br />](./tex/caae041cdcfead8fd495393d038bd3f3.png) además, notemos que : ![TEX: \[<br />\int_a^b {I'\left( a \right)da} = I\left( b \right) - I\left( a \right) = - \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />](./tex/0d0e940f91c436c997e026cd80e3c468.png) entonces, sustituyendo lo anterior en el integrando:![TEX: \[<br />\int_a^b {\frac{{da}}<br />{{a + 1}}} = \left. {\ln \left( {a + 1} \right)} \right|_a^b = - \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />](./tex/d27c08a8c80f66ff82d9a07ac74f458d.png) ![TEX: \[<br /> \Rightarrow \left. {\ln \left( {a + 1} \right)} \right|_b^a = \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />](./tex/9d040fbd26b6a729717e22431a77091d.png) ![TEX: \[<br />\therefore \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx = \ln \left( {\frac{{a + 1}}<br />{{b + 1}}} \right)<br />\]<br />](./tex/1f7b6121009c097d2853fbd9d426b81c.png) ![TEX: \[<br />\blacksquare <br />\]<br />](./tex/14ecf7231fcfac47527f87339db48ac4.png) wena kriza ..oye, sorri por postiar en los resueltos jaja 
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Oct 23 2008, 06:17 PM
Publicado:
#9
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo: |
Tarde o temprano, ésa era la otra solución para el Hint #2 que había dado.
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