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Propuesto 135

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 28 2007, 06:26 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Evaluar$$\int_0^1\frac{x^a-x^b}{\ln x}\,dx,\,\forall\,a,b\ge0.$$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2007, 10:56 AM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Hint para Solución #1: Integrar la función $TEX: $f(x)=a^x,$$ puede formar parte importante en la solución del problema Hint para Solución #2: $TEX: $1-1=0.$$ Derivar es una técnica

Ernesto Piwonka Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2007, 03:07 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 874 Registrado: 18-October 07 Desde: The Matrix... Miembro Nº: 11.478 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Nov 24 2007, 01:56 PM) Hint para Solución #1: Integrar la función $TEX: $f(x)=a^x,$$ puede formar parte importante en la solución del problema Hint para Solución #2: $TEX: $1-1=0.$$ Derivar es una técnica Se sabe que $TEX: \[<br />\int\limits_a^b {x^t dt} = \left. {\frac{{x^t }}<br />{{\ln x}}} \right\|_a^b = \frac{{x^b - x^a }}<br />{{\ln x}}<br />\]$ Luego, la integral que se pide calcular se puede expresar como $TEX: \[<br />\int\limits_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\int\limits_b^a {x^t dt} } \right)} dx<br />\]$ Cambiando los límites de integración (se trata de un rectángulo, de modo que el cambio es trivial), y resolviendo la integral iterada, se llega finalmente a que: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \int\limits_0^1 {\left( {\int\limits_b^a {x^t dt} } \right)} dx = \int\limits_b^a {\left( {\int\limits_0^1 {x^t dx} } \right)} dt = \int\limits_b^a {\left( {\left. {\frac{{x^{t + 1} }}<br />{{t + 1}}} \right\|_0^1 } \right)dt} = \int\limits_b^a {\frac{1}<br />{{t + 1}}dt} = \left. {\ln \left( {t + 1} \right)} \right\|_b^a = \hfill \\<br /> = \ln \left( {a + 1} \right) - \ln \left( {b + 1} \right) = \ln \left( {\frac{{a + 1}}<br />{{b + 1}}} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Mensaje modificado por Krizalid el Mar 10 2008, 01:00 PM -------------------- Saludos, EPC http://epiwonka.blogspot.com

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2007, 03:58 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Bien Esa era la solución que esperaba Saludos

Lican Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2008, 12:11 AM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 384 Registrado: 3-June 07 Miembro Nº: 6.396 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	no entiendo a que te refieres con "se trata de un rectangulo, de modo que el cambio es trivial". y lo otro.. es siempre cierto que $TEX: \[<br />\int\limits_a^b {\left( {\int\limits_c^d {f(t)dt} } \right)} dx = \int\limits_c^d {\left( {\int\limits_a^b {f(t)dx} } \right)} dt<br />\]<br />$ ? lo demás creo que lo entendí bien Muchas gracias

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2008, 12:25 AM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Busca por "Teorema de Fubini."

Lican Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2008, 01:29 AM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 384 Registrado: 3-June 07 Miembro Nº: 6.396 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Jaja, lo lei y parece que no estoy listo para eso gracias por responder de todas formas

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2008, 04:08 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	me pongo con la otra solución : consideremos la función : $TEX: \[<br />I\left( a \right) = \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow \frac{{dI\left( a \right)}}<br />{{da}}\underbrace = _{leibniz}\int_0^1 {\frac{\partial }<br />{{\partial a}}} \left\{ {\frac{{x^a }}<br />{{\ln x}} - \frac{{x^b }}<br />{{\ln x}}} \right\}dx = \int_0^1 {x^a } dx = \frac{1}<br />{{a + 1}}<br />\]<br />$ además, notemos que : $TEX: \[<br />\int_a^b {I'\left( a \right)da} = I\left( b \right) - I\left( a \right) = - \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />$ entonces, sustituyendo lo anterior en el integrando: $TEX: \[<br />\int_a^b {\frac{{da}}<br />{{a + 1}}} = \left. {\ln \left( {a + 1} \right)} \right\|_a^b = - \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />$ $TEX: \[<br /> \Rightarrow \left. {\ln \left( {a + 1} \right)} \right\|_b^a = \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\therefore \int_0^1 {\frac{{x^a - x^b }}<br />{{\ln x}}} dx = \ln \left( {\frac{{a + 1}}<br />{{b + 1}}} \right)<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\blacksquare <br />\]<br />$ wena kriza ..oye, sorri por postiar en los resueltos jaja -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2008, 06:17 PM Publicado: #9
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Tarde o temprano, ésa era la otra solución para el Hint #2 que había dado.

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