Primera Olimpiada SSCC, Olimpiada Interna Opciones

[Jaime sscc]

Problema 3
Daniela eligió cuatro dígitos distintos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Formó con ellos todos los posibles números de cuatro cifras distintas y sumó todos esos números de cuatro cifras. El resultado es 193314. Halla los cuatro dígitos que eligió Daniela.



yap, primero que todo, al tener todas las combinaciones totales de 4 cifras, las combinaciones totales son 4!=24
tenemos 24 numeros, pero los 4 digitos (a,b,c,d) deben de estar de = forma en las unidades, decenas, centenas y U. de mil, osea 4, entonces deben estar 6 veces en cada lugar.

ahora bien, como la suma es comutativa, podemos hacer algo inteligente, ordenarlos de tal manero qeu solo qeuden numeros =, osea
aaaa*6+bbbb*6+cccc*6+dddd*6=193314
a*1111*6+b*1111*6+c*1111*6+d*1111*6=193314
6666(a+b+c+d)=193314 ( /6666)
a+b+c+d=29

ahora bien, veamos que la suma maxima posible es
6+7+8+9=30
entonces debemos restar 1, pero de restarselo al 9, tendriamos dos 8, asi = con el 8 y con el 7, pero podemos restarselo al 6 ya que no se repetiria ninguno, dejando que los numeros son
5, 7, 8, 9
5+7+8+9=29

ojala ser entienda bien, xq me costo un poko explicar eso de ordenarlos, bueno eso
salu2 a todos

[ZeuS]

SOLUCION PROBLEMA 2 , CLASIFICACION NIVEL MENOR


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Segun el juego , wx = 85 , xy = 136 , yz = 120.

w = 85/x , y = 136/x , es decir el cuociente al dividir estos numeros por el entero x , es entero y por lo tanto x divide a 136 y a 85. X entonces es un divisor comun entre 85 y 136 , estos son 1 y 17.

Probaremos con x = 1:

w.1 = 85 , y.1 = 136 en este ultimo caso , y = 136 pero yz = 136z = 120 , por lo tanto esto es imposible para los numeros enteros ya que 136 obviamente no divide a 120.

Probaremos con x = 17:

17w = 85 entonces , w = 5
17y = 136 entonces , y = 8
zy = 8z = 120 entonces z = 15

Con x = 17 , todas las demas incognitas , vale decir , w,y,z resultan ser enteras y asi podemos completar todos los rectangulos faltantes... como lo muestra la imagen.

Bueno CHAU ... ZeuS // SSCC //

[ZeuS]

PRIMERA SOLUCION PROBLEMA 4 , FINAL NIVEL MENOR


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Construimos un segunda columna de tres cuadrados congruentes. Luego trazamos CB y AB como lo muestra la figura.

Llamaremos al <CGF como X y al <CAF como Y.

El angulo comprendido entre la diagonal y el lado de mayor longitud de un rectangulo formado por dos cuadrados congruentes siempre sera X.

AB es la diagonal del rectangulo AFBD, por lo tanto <BAF = X , ademas <ABD = X por ser alterno interno a <BAF.

CB es la diagonal del rectangulo BECH, por lo tanto <BCE = X. Si ademas <BCE = 90º , entonces <CBE = (90 - x)º.

Ahora calcularemos <ABC, esto es:

X + <ABC + (90 - X) = 180
<ABC + 90 = 180
<ABC = 90º

Tenemos que este angulo vale 90º, por lo tanto el triangulo ABC es rectangulo. Notemos tambien que este triangulo es isosceles con base AC ya que AB = BC por ser diagonales de rectangulos congruentes.

Si el triangulo ABC es isosceles rectangulo en B, entonces <CAB = <ACB = 45º.

Ahora observando la figura nos damos cuenta que <CAB = X+Y = 45º ; con esto queda demostrado el problema.

[ZeuS]

SEGUNDA SOLUCION PROBLEMA 4 , FINAL NIVEL MENOR


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Agregamos dos columnas de tres cuadrados congruentes y trazamos AB, BC, BD y DA como lo muestra la figura. Es importante mencionar que AB = BC = CD = DA ya que todos estos segmentos son las diagonales de rectangulos iguales.

Demostraremos que ABCD es un cuadrado, para esto , sabemos que todos los angulos formados por la diagonal y el lado mas largo de rectangulos formados por dos cuadrados congruentes tienes medida X. Por lo tanto <ADF = <DCE = <CBG = <HAB = <IJB = <DAJ = X. Estos dos ultimos angulos iguales nos dicen que DA // IJ porque ademas estan situados en la misma recta y tienen igual sentido.

Sabemos que todos los angulos formados por la diagonal y el lado mas largo de rectangulos formados por tres cuadrados congruentes tienen medida Y. Por lo tanto <IAE = <EAC = Y.

Lo que si sabemos es que HGIF es un cuadrado, entonces los angulos que comprenden los lados del cuadrado y alguno de los vertices mencionados miden 90º.

De esta forma nos damos cuenta que los triangulos AHB , BGC , CID , DFA son todos congruentes entre si por criterio A-L-A.

Obviamente el angulo que falta por conocer en cada uno de los triangulos ya mencionados es el mismo y correponde a ( 90 - X)º

Luego:

<ABH + <ABC + < CBG = 180º

Sustituyendo queda:

(90 - X) + <ABC + X = 180
90 + <ABC = 180
<ABC = 90º

Este mismo procedimiento hacemos en los otros tres casos en que se presentan estos angulos vale decir (90 - X) y X y asi concluimos que cada angulo que falta es de 90º, por lo tanto ABCD es un cuadrado.

AC es la diagonal de ABCD, esto quiere decir que <DAC = 45º = <DAJ + <EAC , pero al principio de esta solucion mencionamos los valores de estos ultimos angulos, que eran X e Y respectivamente. Asi queda demostrado el problema.

[Corecrasher]

Final Lvl menor:
Problema 1
Se divide un círculo en diez sectores iguales y se coloca una ficha en cada sector. Un movimiento consiste en seleccionar dos fichas y mover cada una hacia un sector adyacente. Pruebe que, después de una secuencia arbitraria de movimientos, es imposible que todas las fichas se localicen en un mismo sector

SOL:


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Bueno , definiremos 2 grupos de 5 áreas el grupo rojo y el azul. Notemos que los dos equipos parten con 5 fichas , una cantidad impar y que en cada jugada se pasan 2 fichas de un grupo al otro por lo que no se altera la paridad (esto se debe ya que cada vez que tomamos 2 cualesquiera las pasamos al equipo contrario ,adyacente, puesto que si elegimos 2 del mismo color pasaran las dos al otro color y sumaremos 2 al otro grupo y no cambiara la paridad ; o simplemente podemos elegir 2 de diferente color y pasarlo al contrario , con lo que quedaran las cantidades de los 2 equipos iguales ya que se entrega y se recive 1) y en ese hecho cae la contradicción , puesto que si las 10 fichas están en un mismo sector entonces los 2 equipos tendrán una cantidad par de fichas , hecho imposible.

A pedido del publico : Por que no cambia la paridad? Tomaremos 2 casos un numero par y uno impar , si tenemos un numero par de la forma 2n y le sumamos 2 quedara 2(n+1) por lo cual sigue siendo par. Ahora bien si el numero es impar , osea 2n+1 y le sumamos 2 nos queda 2(n+1)+1 y sigue siendo impar.

[ZeuS]

TERCERA SOLUCION PROBLEMA 4 , FINAL NIVEL MENOR


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img342.imageshack.us/img342/9628/geometria35xi.png');}" />


Trazamos DA en la figura.

Llamaremos ´´a`` al lado de todos los cuadrados congruentes, luego DC = 2a , EB = a,
DA = CB = a√2

Llamaremos ´´Y`` al <CAB y ´´X`` al <CAB. Luego <DCA = y. Ademas < EBC = <CDA = 135º.

Pensemos en los triangulos ACD y EBC, no sabemos por completo la medida de sus angulos pero si conocemos la medida de sus lados.

Los dibujaremos en el mismo sentido:


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img192.imageshack.us/img192/1618/geometria43rv.png');}" />


Supongamos que <d =<x entonces es el lado mas largo es al lado mas corto:
2a/(a√2).

Supongamos tambien que <b = <y entonces el lado mas largo es al lado mas corto: (a√2)/a

Intentaremos demostrar que estos triangulos son semejantes, para esto estableceremos la semejanza:

DC/BC = AD/EB ,sustituyendo queda: 2a/(a√2) = (a√2)/a

Ahora multiplicaremos en fora cruzada. Si el producto de esta forma es el mismo para ambas operaciones, nuestra suposicion de que estos triangulos son semejantes seria correcta. Veamos...

DC.EB = BC.AD ,sustituyendo queda:

2a.a = (a√2).(a√2)
2a²= 2a²

Queda completamente demostrado que los triangulos ACD y EBC son semejantes, por lo tanto se cumple que <d = <x , <y = <b.

O sea tenemos que (d+b) = 45º lo que es igual a (x+y) = 45º y, asi queda demostrado el problema.

Esta fue la solucion que yo di en aquella prueba del SSCC ^.^

Bueno ,adios!!

SebA ... S²C²

[ZeuS]

SOLUCION PROBLEMA 4, CLASIFICACION NIVEL MENOR

Este es mi estreno en posts con latex jejej y me quedo bueno


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Llamaremos al como y al como . Luego

Ahora tenemos que :







Tambien tenemos que :



Reemplazando :







Luego el y el son semejantes por A-A-A. entonces establecemos la semejanza, para esto sabemos que y que :



Sustituyendo por las igualdades mencionadas anteriormente tenemos:



Y ahora sustituyendo los segmentos concidos por sus valores numericos tenemos que:



Finalmente multiplicando cruzado:



Asi obtenemos el valor del segmento ... adios , muy bueno el latex

[ZeuS]

SOLUCION PROBLEMA 2, FINAL NIVEL MAYOR

Escribiremos los de algo de la siguiente forma y luego los sumaremos:






.
.
.

....................................................................................................
...........................

Sumados queda:





Puesto que el numero se suma veces , el se suma veces , etc.

Notemos que

Aplicando esta igualdad en nuestro resultado queda:






Ahora en forma independiente , sumamos todos los de la expresion quedando como resultado , puesto que se encuentran veces estos ... por consiguiente, la expresion queda:





Factorizamos el primer parentesis por y eliminamos el segundo parentesis:





De forma ingeniosa escribiremos el ultimo numero como :





Meteremos el numero dentro del parentesis, quedando factorizado obviamente por :





Notamos por definicion que nuestro parentesis es igual a , sustituyendo esta igualdad en la expresion queda:




Y asi queda probado el problema...