Primera Olimpiada SSCC, Olimpiada Interna Opciones

[Rurouni Kenshin]

Aca les dejo tanto la clasificacion como la final del nivel menor(7mo Basico a 1ero Medio) y nivel Mayor(2do Medio a 4to Medio)
Saludos
PD:Disfruten los problemas...la clasificacion no esta tan dificil pero la final es otra cosa...

Archivo(s) Adjunto(s)

 Clasificacion_Olimpiada_Interna_de_Matem_tica_Menor.doc ( 34.5k ) Número de descargas:  335
 Clasificacion_Olimpiada_Interna_de_Matem_tica_Mayor.doc ( 25k ) Número de descargas:  248
 Final_Olimpiada_Interna_de_Matem_tica_Menor.doc ( 30.5k ) Número de descargas:  214
 Final_Olimpiada_Interna_de_Matem_tica_Mayor.doc ( 26.5k ) Número de descargas:  232

 

[MasterIN®]

Solución problema 2

Pitemos los asientos de manera similar a un tablero de ajedrez. Osea, blanco-negro. Pues bien, si un alumno se encuentra en un asiento pintado de color blanco, debería cambiarse a uno negro y viceversa, pero, siempre hay un asiento mas de un color, por lo tanto lo pedido no es posible.

Por ej, digamos que quedan 25 blancos y 24 negros, entonces, los 25 alumnos no pueden pasar todos a un puesto vecino, ya que uno debería quedarse donde mismo para que fuera posible ( 25>24 )

y eso es todo..gracias...

QUEPD

by mAsTeR®

[MasterIN®]

Solución problema 3

Los restos en mod. 3 son: 0, 1 , 2.

Entonces, con 3 enteros, como mucho su suma tendrá resto 2+2+2=6=0 mod. 3
Por consiguiente, las combinaciones para que la suma de tres enteros sea div. por 3, son:

0+0+0 = 0 (mod.3)
1+1+1 = 3= 0 (mod.3)
2+2+2 =6 = 0 (mod.3)
2+1+0= 3 = 0 (mod. 3)

Y eso siempre es posible.

Osea, si hay 3 o más con solo el resto en los 5 numeros, por ej. 2, al tomar 3, tendremos la tercera combinacion., que es div.

Y bueno, ya se ve que pasa cuando hay almenos una congruencia de cada una, se forma la combinacion cuarta.

Y....si no hay tres o más congruencias iguales en cualquiera, siempre tendremos todas las congruencia mod. 3 en los 5 números enteros tomados ..y eso sería..gracias.... au revoir

QUEPD

by mAsTeR®

[MasterIN®]

Ya, responderé de manera mas menos simple el problema 1 del menor:

Se tiene que N = abcd............2 con abcd..........2 dígitos de N

Entonces, sabemos que:

2abcd............. = 2N /*10
2abcd............0 = 20N

Ahora, a la última igualdad restemosle N. quedará

2abcd............0 = 20N
0abcd............2 = N
-----------------------
199999............8 = 19N

Entonces, ahora solo hay que buscar un número de la forma 1999.......8 divisible por 19, y que el último dígito del cuociente sea 2.

Con un poco de fuerza bruta (gracias peñe!!! ) llegamos a que 1999999999999999998 / 19 = 105263157894736842

Por tanto N= 105263157894736842 que cumple con las condiciones pedidas, es decir 105263157894736842 * 2 = 210526315789473684 ... eso...au revoir

QUEPD

by mAsTeR®

[Guía Rojo]

bruto yo??

jajajajajajajajajajaja

Lo hice con fermat...

10^18 = 1 (mód 19)
2*10^18 = 2 (mód 19)
2*10^18 - 2 = 0 (mód 19)
199...98 = 0 (mód 19)

y listo...
loco mulero, aprende a hacer algo x ti mismo... (sin ofensas)

Guía Rojo

[MasterIN®]

PROBLEMA 2 (FINAL MENOR)

La primera fila de esta tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden.
La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden.
En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba.
¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas?

Este problema parece que está posteado en el foro..pero bueno..la respuesta es---
No.

Fijémonos que la suma de los número de la primera fila es 55. La suma de los de la segunda fila es 55. Ahora bien, para que en la tercera fila sean todas las unidades, deberían estar todas, osea.. 0,1,2,3.....9. Por ende, si sumamos los números de la tercera fila, la suma debería terminar en 5. Sin embargo, 55+55=110 , por ende, no se puede completar la segunda fila de modo que la cifras de las unidades de la tercera fila sean todas distintas...gracias .... ... au revoir

by mAsTeR®

[Rurouni Kenshin]

Solución problema 2

Pitemos los asientos de manera similar a un tablero de ajedrez. Osea, blanco-negro. Pues bien, si un alumno se encuentra en un asiento pintado de color blanco, debería cambiarse a uno negro y viceversa, pero, siempre hay un asiento mas de un color, por lo tanto lo pedido no es posible.

Por ej, digamos que quedan 25 blancos y 24 negros, entonces, los 25 alumnos no pueden pasar todos a un puesto vecino, ya que uno debería quedarse donde mismo para que fuera posible ( 25>24  )

y eso es todo..gracias...

QUEPD  

by mAsTeR®

Solucion perfecta ....vamos viendo las otras
Saludos

[Rurouni Kenshin]

Solución problema 3

Los restos en mod. 3 son: 0, 1 , 2.

Entonces, con 3 enteros, como mucho su suma tendrá resto 2+2+2=6=0 mod. 3
Por consiguiente, las combinaciones para que la suma de tres enteros sea div. por 3, son:

0+0+0 = 0 (mod.3)
1+1+1 = 3= 0 (mod.3)
2+2+2 =6 = 0 (mod.3)
2+1+0= 3 = 0 (mod. 3)
Y eso siempre es posible.

Osea, si hay 3 o más con solo el resto en los 5 numeros, por ej. 2, al tomar 3, tendremos la tercera combinacion., que es div.
Y bueno, ya se ve que pasa cuando hay almenos una congruencia de cada una, se forma la combinacion cuarta.

Y....si no hay tres o más congruencias iguales en cualquiera, siempre tendremos todas las congruencia mod. 3 en los 5 números enteros tomados  ..y eso sería..gracias.... au revoir

QUEPD

by mAsTeR®

En ambas partes marcadas con negro yo editaria un poco para el mejor entendimiento de tu argumento...
En lo primero enumeraria las posibles combinaciones...o sea diria primera combinacion,segunda combinacion,tercera y cuarta (estuve un rato tratando de entender a que te referias)
En lo segundo pondria esto:
"Osea, si hay 3 o más de estos 5 numeros con el misma congruencia en modulo 3,tendriamos lo pedido.
Por ejemplo si tuvieramos 3 o mas numeros que dejan resto 2, al tomar 3 de ellos, tendremos la tercera combinacion en la cual la suma de esos tres numeros sera divisible por 3(congruente a 0 modulo 3)"
A pesar que sea a veces demasiado explicativo...no esta de mas explicar bien las cosas demostrando que sabes lo que dices...
Mis Saludos...a ver la otra...

[Rurouni Kenshin]

Ya, responderé de manera mas menos simple el problema 1 del menor:

Se tiene que N = abcd............2   con abcd..........2 dígitos de N

Entonces, sabemos que:

2abcd............. = 2N   /*10
2abcd............0 = 20N

Ahora, a la última igualdad restemosle N. quedará

2abcd............0 = 20N
0abcd............2 = N
-----------------------
199999............8 = 19N

Entonces, ahora solo hay que buscar un número de la forma 1999.......8 divisible por 19, y que el último dígito del cuociente sea 2.

Con un poco de fuerza bruta (gracias peñe!!!  ) llegamos a que 1999999999999999998 / 19 = 105263157894736842

Por tanto N= 105263157894736842 que cumple con las condiciones pedidas, es decir  105263157894736842 * 2 = 210526315789473684  ... eso...au revoir

QUEPD

by mAsTeR®

Me parece bien...pero realmente creen que un alumno de septimo a primero medio se le pida que sepa el teorema de fermat y congruencia modulo por ende recien en la clasificacion interna?
No pierdan la intuicion de cuando eran mas chicos...piensen como lo haria un joven que no domina esas cosas...quizas encuentren una solucion mucho mas evidente....(demasiado mas)
Mis Saludos

PD:Es la unica solucion con menos de 30 cifras?
Eso tambien tienen que verificarlo...,hay mas soluciones sin la condicion de las 30 cifras?

[Rurouni Kenshin]

PROBLEMA 2 (FINAL MENOR)

La primera fila de esta tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden.
La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden.
En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba.
¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas?

Este problema parece que está posteado en el foro..pero bueno..la respuesta es---
No.

Fijémonos que la suma de los número de la primera fila es 55. La suma de los de la segunda fila es 55. Ahora bien, para que en la tercera fila sean todas las unidades, deberían estar todas, osea.. 0,1,2,3.....9. Por ende, si sumamos los números de la tercera fila, la suma debería terminar en 5. Sin embargo, 55+55=110  , por ende, no se puede completar la segunda fila de modo que la cifras de las unidades de la tercera fila sean todas distintas...gracias ....  ... au revoir

by mAsTeR®

Correcto y con esto terminamos la correccion..felicidades y me alegro que sigas trabajando....recuerda que lo que se premia es la "constancia"
Saludos y felicitaciones...a ver como les va con el P1 y el P3 de la Final del Nivel Mayor,y tambien me interesan sus soluciones en los otros problemas...
Suerte