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> Uno del CRUX, Resuelto por iMPuRe y Mahoma [medio]
Luffy
mensaje Jun 8 2007, 11:03 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: \noindent Sean $m$ y $n$ enteros positivos, demuestre que:\\<br />\begin{center}<br />$sin^{2m}\theta cos^{2n}\theta \le \dfrac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}}$<br />\end{center}

Saludos victory.gif
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Luffy
mensaje Jan 2 2008, 11:03 PM
Publicado: #2


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Mahoma
mensaje Jan 5 2008, 12:09 AM
Publicado: #3


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TEX: Transformemos un poco la desigualdad

TEX: $(m+n)^m sin^{2m}\theta (m+n)^n cos^{2n}\theta \le m^mn^n$

TEX: $\Leftrightarrow$ $mlog(m+n)sin^2\theta + nlog(m+n)cos^2\theta \le mlogm + nlogn$

TEX: $\Leftrightarrow$ $mlog\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)sin^2\theta + nlog\left(1+\displaystyle\frac{m}{n}\right)cos^2\theta \le 0$

TEX: $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{m}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)sin^2\theta + \displaystyle\frac{n}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{m}{n}\right)cos^2\theta \le 0$

TEX: \noindent Lo anterior fue utilizando que $log(\cdot)$ es creciente, luego se mantiene el sentido de la desigualdad, y sera esta la que probaremos. Notemos que $\displaystyle\frac{m}{m+n}+\displaystyle\frac{n}{m+n}=1$, y que $log(\cdot)$ es concava, luego por Jensen, se tiene que:

TEX: $\displaystyle\frac{m}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)sin^2\theta + \displaystyle\frac{n}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{m}{n}\right)cos^2\theta$

TEX: $\le log\left(\displaystyle\frac{msin^2\theta}{m+n}+\displaystyle\frac{nsin^2\theta}{m+n}+\displaystyle\frac{ncos^2\theta}{m+n}+\displaystyle\frac{mcos^2\theta}{m+n}\right)$

TEX: \noindent $= log\left(\displaystyle\frac{m(sin^2\theta+cos^2\theta)+n(sin^2\theta+cos^2\theta)}{m+n}\right)=log\left(\displaystyle\frac{m+n}{m+n}\right)=log1=0$

TEX: Y asi concluimos.


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"Si te vieres rodeado de mucha gente ignorante, no te envanezcas por lo que sabes, más bien mira a los que te superan en conocimientos y verás que aún no eres lo que te imaginas ser; y estas por debajo de muchos."
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Luffy
mensaje Jan 5 2008, 12:59 PM
Publicado: #4


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Correctísima respuesta!!!!!! jpt_rezzopapichulo.gif jpt_rezzopapichulo.gif Mahoma

Muchas Felicitaciones, nos vamos a resueltos kool2.gif

Saludos jpt_chileno.gif
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iMPuRe
mensaje Mar 3 2008, 02:22 AM
Publicado: #5


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TEX: \noindent Por $MA \ge MG$ se tiene: \\ \\ $\displaystyle \frac{\overbrace{\frac{sin^2 \theta}{m}+...+\frac{sin^2 \theta}{m}}^{m veces}+\overbrace{\frac{cos^2 \theta}{n}+...+\frac{cos^2 \theta}{n}}^{n veces}}{m+n} = \frac{\overbrace{sen^2 \theta + cos^2 \theta}^{1}}{m+n} \ge \sqrt[m+n]{\frac{sen^{2m} \theta}{m^m} \frac{cos^{2n} \theta}{n^n}}$\\ \\<br />La conclusion es directa
zippytecito.gif

Mensaje modificado por iMPuRe el Mar 3 2008, 02:20 PM


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Luffy
mensaje Mar 3 2008, 04:56 PM
Publicado: #6


Dios Matemático Supremo
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winner_1st.gif winner_1st.gif Excelente, la respuesta de iMPuRe es correctísima; una bellisima solución.

Merecidas Felicitaciones iMPuRe pompomgirl.gif jpt_chileno.gif
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