Identificarse Registrarse

Psu
Enseñanza Básica
Enseñanza Media
Universidad
Olimpiadas
Comunidad



 
 Reply to this topicStart new topic
> Uno del CRUX, Resuelto por iMPuRe y Mahoma [medio]
Luffy
mensaje Jun 8 2007, 11:03 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 556
Registrado: 16-August 06
Desde: Rio de Janeiro
Miembro Nº: 1.950
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Instituto Nacional
Universidad: Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA)
Sexo:



TEX: \noindent Sean $m$ y $n$ enteros positivos, demuestre que:\\<br />\begin{center}<br />$sin^{2m}\theta cos^{2n}\theta \le \dfrac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}}$<br />\end{center}

Saludos victory.gif
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Luffy
mensaje Jan 2 2008, 11:03 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 556
Registrado: 16-August 06
Desde: Rio de Janeiro
Miembro Nº: 1.950
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Instituto Nacional
Universidad: Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA)
Sexo:



Hint:
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Mahoma
mensaje Jan 5 2008, 12:09 AM
Publicado: #3


Principiante Matemático
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 13
Registrado: 31-December 07
Desde: Arrabiarrazaza
Miembro Nº: 14.226
Sexo:



TEX: Transformemos un poco la desigualdad

TEX: $(m+n)^m sin^{2m}\theta (m+n)^n cos^{2n}\theta \le m^mn^n$

TEX: $\Leftrightarrow$ $mlog(m+n)sin^2\theta + nlog(m+n)cos^2\theta \le mlogm + nlogn$

TEX: $\Leftrightarrow$ $mlog\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)sin^2\theta + nlog\left(1+\displaystyle\frac{m}{n}\right)cos^2\theta \le 0$

TEX: $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{m}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)sin^2\theta + \displaystyle\frac{n}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{m}{n}\right)cos^2\theta \le 0$

TEX: \noindent Lo anterior fue utilizando que $log(\cdot)$ es creciente, luego se mantiene el sentido de la desigualdad, y sera esta la que probaremos. Notemos que $\displaystyle\frac{m}{m+n}+\displaystyle\frac{n}{m+n}=1$, y que $log(\cdot)$ es concava, luego por Jensen, se tiene que:

TEX: $\displaystyle\frac{m}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)sin^2\theta + \displaystyle\frac{n}{m+n}log\left(1+\displaystyle\frac{m}{n}\right)cos^2\theta$

TEX: $\le log\left(\displaystyle\frac{msin^2\theta}{m+n}+\displaystyle\frac{nsin^2\theta}{m+n}+\displaystyle\frac{ncos^2\theta}{m+n}+\displaystyle\frac{mcos^2\theta}{m+n}\right)$

TEX: \noindent $= log\left(\displaystyle\frac{m(sin^2\theta+cos^2\theta)+n(sin^2\theta+cos^2\theta)}{m+n}\right)=log\left(\displaystyle\frac{m+n}{m+n}\right)=log1=0$

TEX: Y asi concluimos.


--------------------
"Si te vieres rodeado de mucha gente ignorante, no te envanezcas por lo que sabes, más bien mira a los que te superan en conocimientos y verás que aún no eres lo que te imaginas ser; y estas por debajo de muchos."
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Luffy
mensaje Jan 5 2008, 12:59 PM
Publicado: #4


Dios Matemático Supremo
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 556
Registrado: 16-August 06
Desde: Rio de Janeiro
Miembro Nº: 1.950
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Instituto Nacional
Universidad: Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA)
Sexo:



Correctísima respuesta!!!!!! jpt_rezzopapichulo.gif jpt_rezzopapichulo.gif Mahoma

Muchas Felicitaciones, nos vamos a resueltos kool2.gif

Saludos jpt_chileno.gif
Go to the top of the page
 
+Quote Post
iMPuRe
mensaje Mar 3 2008, 02:22 AM
Publicado: #5


Doctor en Matemáticas
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 193
Registrado: 22-March 07
Desde: San Miguel, Santiago
Miembro Nº: 4.651
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Instituto Nacional
Universidad: Universidad de Chile-FCFM
Sexo:



TEX: \noindent Por $MA \ge MG$ se tiene: \\ \\ $\displaystyle \frac{\overbrace{\frac{sin^2 \theta}{m}+...+\frac{sin^2 \theta}{m}}^{m veces}+\overbrace{\frac{cos^2 \theta}{n}+...+\frac{cos^2 \theta}{n}}^{n veces}}{m+n} = \frac{\overbrace{sen^2 \theta + cos^2 \theta}^{1}}{m+n} \ge \sqrt[m+n]{\frac{sen^{2m} \theta}{m^m} \frac{cos^{2n} \theta}{n^n}}$\\ \\<br />La conclusion es directa
zippytecito.gif

Mensaje modificado por iMPuRe el Mar 3 2008, 02:20 PM


--------------------
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Luffy
mensaje Mar 3 2008, 04:56 PM
Publicado: #6


Dios Matemático Supremo
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 556
Registrado: 16-August 06
Desde: Rio de Janeiro
Miembro Nº: 1.950
Nacionalidad:
Colegio/Liceo: Instituto Nacional
Universidad: Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA)
Sexo:



winner_1st.gif winner_1st.gif Excelente, la respuesta de iMPuRe es correctísima; una bellisima solución.

Merecidas Felicitaciones iMPuRe pompomgirl.gif jpt_chileno.gif
Go to the top of the page
 
+Quote Post
 

Reply to this topicStart new topic
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):

 

Versión Lo-Fi Fecha y Hora actual: 3rd April 2025 - 09:20 PM
Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007  IPS, Inc.