Final Nacional Nivel Menor 2005 2da Parte Opciones

[SoLiD_UsHeR]

buena respuesta la ultima... nunca se me hubeira ocurrido hacerla asi xDjeje

[S. E. Puelma Moy...]

Casi está correcta la solución para el problema. Sólo debeos observar un detalle importante: 2006 es par, por lo cual 20052005...2005 (n veces) nunca sería múltiplo de 2006

Aprovecha de corregir ese pequeño detalle en tu solución, para que esté bien

[Corecrasher]

x diferente de 0 , solo falta eso , pero la solucion esta perfecta

[S. E. Puelma Moy...]

De todos modos la idea está perfecta... salvo por el pequeño detalle que tenía que cuidar. La solución elegante es usar de ese modo el principio del palomar... entre los n números que puso, cuando n es grande en la medida suficiente, dos restos se repiten y todo queda bonito

Noten el parecido con un problema de la olimpiada nacional del año 2003, en el nivel mayor (se nos fue estudiar ese problema durante la preparación, en realidad se los había indicado como tarea )

[=3fR4=]

Bueno aca les va mi solucion al problema 5, aunque en la prueba no estuve tan brillante (igual sake plata ) y llegue al resultado, despues de ella se me ocurrio una justificacion mucho mejor:

P5) supongamos 2^n con k digitos y 5^n con m digitos, entonces
10^k > 2^n >o= 10^(k-1) y 10^m > 5^n >o= 10^(m-1)
Tambien:
2^n=A*10^(k-1) con algun A tal que A*10^(k-1) entero 10>A>1
5^n=B*10^(m-1) con algun B tal que B*10^(m-1) entero 10>B>1
Y:
2^n*5^n=10^n
=> A*10^(k-1) * B*10^(m-1) = 10^n
A*B * 10^(k+m-2) = 10^n
multiplicando las desigualdades:
100>A*B>1
pero A*B tiene que ser divisible por 10, asi que A*B=10
luego:
10*10^(k+m-2) = 10^n = 10^(k+m-1)
Entonces:
k+m-1=n
k+m=n+1

Y finalmente en nuestro caso especifico n=2005 , por lo que la suma de los digitos de 2^2005 y 5^2005 (k+m) es igual a 2006 (n+1)

[S. E. Puelma Moy...]

Por fin apareció una solución + elegante de la pregunta 5, una deuda que se estaba haciendo pesada... seguramente en eso pensaba quien decidió proponer el problema en nivel menor.

Me permito una licencia para quienes lo resolvieron con logaritmos

Yendo + seriamente, se prohibe que A=1 o bien que B=1, porque 2^n y 5^n nunca van a ser potencias de 10. El hecho que A*B=10, no se trata con asuntos de divisibilidad, porque de hecho, tanto A como B no son enteros. Sólo está el hecho que 1<A*B<100 y que A*B=10^r, donde r es un entero. Información suficiente para concluir que A*B=10

Creo que no hay + que comentar al respecto, esta segunda prueba está totalmente hecha

[pelao_malo]

bueno, ahi les va la solucion del problema 6

Pregunta 6:
Demuestre que existe un numero entero de la forma:

200520052005.......200500........00

Que es divisible por 2006
bueno tenemos los siguientes numeros

2005
20052005
200520052005
.
.
.
20052005......2005 (n veces)

bueno, como 2006 es par , por eso 200520052005... (n veces) nunka sera divisible por 2006 ,asi que el resto 0 ya no cuenta, quedandonos 2005 restos {1,2,3....,2004,2005) y por principio de palomar almenos 2 tendran el mismo resto, y aplicando la propiedad que dice en congruencia modulo que si:
a=b (mod m)
c=d (mod m)
(a-c)=(b-d) (mod m)

dejando:

200520052005........2005 = x (mod 2006)
------20052005........2005 = x (mod 2006)
20052005.....2005000....0000000 = 0 (mod 2006)

y bueno con eso hemos demostrado que existe un numero de la forma 20052005...20050000...0 que es divisible por 2006

adeu

---------Editado---------------
Disculpen por la Pifia =P

podrian porfavor explicarme como uso el principio de palomar ahi ?XD? es que soy nuevo, porfavor.
Muchas gracias de antemano , adios.