Final Nacional Nivel Menor 2005 2da Parte Opciones

[Tygger evolution]

Aqui van las pregutas de la final nacional 2005 nivel manor Segunda parte
**(no se preocupen de perro negro que se inscribio para puro lesear es un amigo mio)**


Pregunta 5:
Los numeros 2 elevado a 2005 y 5 elevado a 2005 en su expresion decimal estan inscritos en una linea uno detraz del otro. ¿cuantos digitos hay en esta fila?



Pregunta 6:
Demuestre que existe un numero entero de la forma:

200520052005.......200500........00

Que es divisible por 2006



Pregunta 7:

Considere un cuadrilátero convexo. Usando sus lados como diámetros se construyen 4 discos circulares. Demuestre que los discos cubren por completo al cuadrilátero.

[felipe_contreras...]

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img323.imageshack.us/img323/6774/nac13pw.jpg');}" />


Primero trazamos la diagonal AC.

Luego las alturas hB y hD.

Nos quedan los triángulos rectangulos AEB, BCE, FCD Y AFD.

Estos están inscritos en las semicircunferncias construidas sobre los lados y cubren el cuadrilátero por completo.

Si los triángulos cubren el cuadrilátero sus circunferencias circunscritas tambien lo harán.

Por último ¿Existen cuadriláteros no convexos?

[Rurouni Kenshin]

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img323.imageshack.us/img323/6774/nac13pw.jpg');}" />


Primero trazamos la diagonal AC.

Luego las alturas hB y hD.

Nos quedan los triángulos rectangulos AEB, BCE, FCD Y AFD.

Estos están inscritos en las semicircunferncias construidas sobre los lados y cubren el cuadrilátero por completo.

Si los triángulos cubren el cuadrilátero sus circunferencias circunscritas tambien lo harán.

Por último ¿Existen cuadriláteros no convexos?

Por supuesto que existen cuadrilateros no convexos y se llaman concavos.
Ejemplo

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img385.imageshack.us/img385/7882/geo219ed.png');}" />

La gracia de los cuadrilateros convexos es que si tienes un punto A y B en el interior del cuadrilatero,entonces el segmento AB pertenece al cuadrilatero de manera completa.
En cambio en los concavos(como en la figura)..a veces eso puede fallar...poniendo A y B hacia las puntas.
Tu solucion es correctisima...felicidades nuevamente...
Saludos
PD:Me encantaria ver una solucion al problema 5 que sea "correcta",o sea hasta ahora solo he visto que algunos postulaban ciertas teorias de como se comportaba el numero de cifras pero nadie me lo ha demostrado y me gustaria ver si alguien lo puede hacer...
Para que no se equivoquen les cuento que 2^2005 tiene 604 cifras y que 5^2005 tiene 1402 cifras,y la suma es efectivamente 2006 y muchos llegaron a eso pero a traves de resultados parciales incorrectos...
Saludos

[Corecrasher]

Sabemos que 2^2005=(2^10)^200*32=1024^200*32=(10^3+24)^200*32 , notemos que el 10^3 crece mas rapido que el otro sumando , por lo cual el dictaminara el numero de cifras lo que implica que podremos ver el numero de cifras con el numero (10^3)^200*32 y este numero tiene 602 cifras.

Ahora bien , esta parte es un poco mas compleja , 5^2005=(5^5)^401=3125^401=(3*10^3+125)^401 , lo mismo que antes , aca crece mas rapido el primer sumando , por lo cual el dictaminara el numero de digitos , osea tenemos 3^401*10^1203 , entonces tenemos que preocuparnos ahora del 3^401=(3^10)^40*3=(59049)^40*3=(5*10^4+9049)^40*3 , notemos que el primer sumando crece mas rapido por lo cual el que dictaminara sera el (5*10^4)^40*3=5^40*10^160*3 luego rapidamente por pasos anteriores concluimos que este numero tiene 1404 cifras , al sumar las cifras del 2^2005 y el 5^2005 tenemos 2006 cifras , este problema me lo condorie por sumar mal

[Guía Rojo]

Miren, ayer después de salir de la prueba, vi al "tío Kenshin" (ké cursi el apodo ) resolver el problema 5...

Lo que ocurrió es que en un momento dijo "ah, me aburrí" y a un ex-alumno del SSCC (según creo, y no sé sikiera cómo se llama) le dijo "voy a hacer trampa, jeje, tení calculadora?"...

Yo pensé "en una científica no saldrá el resultado en función exponencial de 10, así ke habrá otro método..."

David hizo esto:
1) calculó el logaritmo de 2 en base 10 (log 2)
2) lo multiplicó por 2005
3) al resultado le aplicó la funcion parte entera
4) le sumó 1

El resultado fue 604, la misma cantidad de cifras de 2^2005
Luego hizo lo mismo con el 5^2005, y el resultado de esta operación le dio 1402 (cantidad de cifras de 5^2005).

Mi duda es: ¿por qué?

Probé con varias otras potencias, como 653^136, que según la calculadora tiene 383 cifras, y con el desarrollo hecho por David, entrega también 383 cifras...

Igual creo ke se me está ocurriendo, pero de todas maneras prefiero una explicación detallada...

[Cesarator]

... guía rojo, es bastante simple el truco (y al mismo tiempo interesante). Seguramente, a esta altura, ya lo entendiste.

¿Alguien publicará los resultados de la premiación?

Me gustaría sacar algunas conclusiones al respecto de los resultados....

[S. E. Puelma Moy...]

Nunca pensé que cayeran tan bajo... ¿Cómo se les ocurre calcular el problema de ese modo? Tarea mínima para Guía Rojo (y quien quiera), es entender la trampa de tío Kenshin... ¿Por qué ese método entrega el total de dígitos?

Yo estaba cuidando a los alumnos en el nivel menor, mientras daban esta prueba. En un rato miré la prueba (problemas 5 a 7), en algunos minutos lo resolví... el que más me costó es el 7, pero... ¿Qué es el problema 5?

Les daré una sola pista: cuando resolví el problema, no tenía idea del total de dígitos de 2^2005. Entonces: ¿Cómo pude resolver ese problema? Sepan que es posible, y yo supongo que en eso pensaba la persona que propuso el problema.

Quienes no estuvieron en su mejor rendimiento, les recomiendo una autoevaluación... yo como entrenador debo autoevaluarme... no será fácil, pero es una obligación.

[S. E. Puelma Moy...]

... guía rojo, es bastante simple el truco (y al mismo tiempo interesante). Seguramente, a esta altura, ya lo entendiste.

¿Alguien publicará los resultados de la premiación?

Me gustaría sacar algunas conclusiones al respecto de los resultados....

No me había dado cuenta, Cesarator contestando al mismo tiempo que yo expresaba mi opinión... Pienso que no es bueno dar muchas indicaciones en este caso, espero que responda alguno de los participantes... sea quien sea, pero que se trate de un participante. Lo que hace cada uno, se aprende mejor

Lamentablemente los resultados de la premiación no se publican. O sea, los puntajes no, pero supongo que sí los premios... eso lo veré después en el sitio de Internet que corresponda. Si alguien se compadece y los publica

Tengan un poco de paciencia

[Cesarator]

eso, estamos en un momento de evaluaciones, cada uno por su lado y TODOS en una gran evaluación general. Y este tipo de evaluaciones hay que hacerlos AHORA, apenas se conocen los resultados.

Entonces, así como los "entrenadores" ayudan a los participantes durante el año, en este momento los "entrenados" deben entregar la mayor cantidad de información posible, que, creanme, es muy valiosa para los entrenadores... hablen hablen!!

[Jaime sscc]

bueno, ahi les va la solucion del problema 6

Pregunta 6:
Demuestre que existe un numero entero de la forma:

200520052005.......200500........00

Que es divisible por 2006


bueno tenemos los siguientes numeros

2005
20052005
200520052005
.
.
.
20052005......2005 (n veces)

bueno, como 2006 es par , por eso 200520052005... (n veces) nunka sera divisible por 2006 ,asi que el resto 0 ya no cuenta, quedandonos 2005 restos {1,2,3....,2004,2005) y por principio de palomar almenos 2 tendran el mismo resto, y aplicando la propiedad que dice en congruencia modulo que si:
a=b (mod m)
c=d (mod m)
(a-c)=(b-d) (mod m)

dejando:

200520052005........2005 = x (mod 2006)
------20052005........2005 = x (mod 2006)
20052005.....2005000....0000000 = 0 (mod 2006)

y bueno con eso hemos demostrado que existe un numero de la forma 20052005...20050000...0 que es divisible por 2006

adeu

---------Editado---------------
Disculpen por la Pifia =P