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Aqui solo Propuestos de Sumatorias

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2005, 08:22 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Nota que el hint dado por ti, lo usé en forma implícita, aunque quise explicarlo brevemente, como si tal hint no exisiera. En ese hint te faltó indicar que $TEX: $c>1$$ , para que juegue el papel de $TEX: $\dfrac{1}{q}$$ . Primero, un poco de aritmética nos lleva a lo siguiente: $TEX: $\displaystyle{kq^k=\frac{1}{1-q}(kq^k-kq^{k+1})=\frac{1}{1-q}(kq^k-(k+1)q^{k+1})+\frac{1}{1-q}q^{k+1}}$$ Este truco ha aparecido en Olimpiadas del Cono Sur, así que no debiera ser extraño. Podemos reemplazar esto en la sumatoria pedida, vamos a obtener: $TEX: $\displaystyle{\sum_{k=0}^nkq^k=\frac{1}{1-q}\sum_{k=0}^n(kq^k-(k+1)q^{k+1})+\frac{q}{1-q}\sum_{k=0}^nq^k}$$ La primera sumatoria es telescópica. La segunda, geométrica. Luego: $TEX: $\displaystyle{\sum_{k=0}^nkq^k=\frac{1}{1-q}(0-(n+1)q^{n+1})+\frac{q}{(1-q)^2}(1-q^{n+1})}$$ En vez de seguir maquillando la expresión, calcularemos el límite cuando $TEX: $n\rightarrow\infty$$ . Apenas necesitamos saber el álgebra de límites, y el hecho que, cuando $TEX: $\|q\|<1$$ , se cumple: $TEX: $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}q^n=\lim_{n\rightarrow\infty}nq^n=0}$$ Por lo tanto, el límite pedido es $TEX: $\dfrac{q}{(1-q)^2}$$ -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2005, 04:42 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Muchas gracias, Sebastián, la duda era inmensa -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2005, 04:47 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Este ejercicio lo saqué de una IMC (Olimpíada Mundial Universitaria). Me gustó mucho, y quiero compartirlo con ustedes, para ke me puedan ayudar, ya ke me lo propusieron hace 1 mes y he logrado hacer algunas cosas, pero no logro llegar al resultado... Bueno, ahí les va: Sea $TEX: $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$$ una secuencia de términos positivos definida por la recurrencia: $TEX: \begin{eqnarray}<br />b_k & = & \sqrt{b_{k-1}}+2\left(1-\sqrt{1+\sqrt{b_{k-1}}}\right)\qquad\forall k\geq 1 \\<br />b_0 & = & 1<br />\end{eqnarray}$ Calcule el valor de $TEX: $\displaystyle{\sum_{k=1}^nb_k2^k}$$ Bonito, ¿no?... xD, espero su pronta respuesta. -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 11 2005, 10:37 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	MILAGROSAMENTE, NO TENGO IDEA CÓMO, PERO ME ACABA DE SALIR Estaba pensando en ke tengo tarea de historia pal martes (xDDDDD) Mejor doy la solución solamente, el desarrollo lo pongo mañana: La sumatoria es igual a *2 + 2^(n + 1) (1 - 2^(2^(-n))) -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge!** He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2005, 04:56 PM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Listo, lo prometido es deuda... Aquí está mi solución (traté de redactarla y ordenarla lo mejor posible) : screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img381.imageshack.us/img381/3603/solucinejercicioimc0ha.jpg');}" /> Eso, espero ke la hayan encontrado bonita Chao... -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 12 2005, 06:08 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	no es de apurón, pero es ke no kiero kedarme con la duda por mucho tiempo: ¿ESTÁ BUENA MI SOLUCIÓN O NO? -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2005, 10:19 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	emmm.....y otra duda... Es mi idea, o esta zona ya wateó?? -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

exp Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 20 2007, 12:59 PM Publicado: #18
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 15 Registrado: 13-November 06 Miembro Nº: 2.787 Nacionalidad: Sexo:	hoola,el problema 2 sale rapidamente por induccion(esta permitido este metodo?) bueno lo pongo: para n=2 , se tiene que : $TEX: $\left\|x_1\right\|+\left\|x_2\right\|=1 \cdots\left(i\right) , x_1+x_2=0 \rightarrow x_1=-x_2 \:,\mbox{reemplazando en}\:\left(i\right)$$ $TEX: $\left\|x_2\right\|=\frac{1}{2}\rightarrow\left\|x_1+\frac{x_2}{2}\right\|\:=\:<br />\left\|-x_2+\frac{x_2}{2}\right\|= \frac{1}{4}\le\:\frac{1}{2}-\frac{1}{2\times2}$$ supongo que se cumple para n=h ,osea si los reales $TEX: $ x_1,x_2 \cdots x_h \: \mbox{ cumplen}$$ $TEX: $\sum_{k=1}^{h} \left\| x_k \right\|=1 \:y\: \sum_{k=1}^{h}x_k=0 \rightarrow \left\| \sum_{k=1}^{h}\frac{x_k}{k} \right\| \le \frac{1}{2}-\frac{1}{2 \times h}\cdots\left(ii\right)$$ ups luego lo termino tengo problemas con latex pero solo sera un instante. bueno lo terminare pero en varias citas y gracias a dana por que corrigio mi error en latex. finalmente debo probar que teniendo los reales $TEX: $ x_1,x_2 \cdots x_{h+1}$$ y estos cumplen: $TEX: $ \sum_{k=1}^{h+1} \left\| x_k \right\| =1 \:y\: \sum_{k=1}^{h+1}x_k=0 \rightarrow \left\| \sum_{k=1}^{h+1}\frac{x_k}{k} \right\| \le \frac{1}{2}-\frac{1}{2 \times \left(h+1\right)}$$ y para eso antes probare algunos lemas: $TEX: $lema \:1$$ : Sea la funcion biyectiva $TEX: $ f:N_k \rightarrow N_k$$ ,siendo $TEX: $ N_k=\{1,2,\cdots k\}$$ los reales $TEX: $a_i$$ cumplen el teorema $TEX: $\leftrightarrow$$ los reales $TEX: $b_i=a_{f(i)}$$ tambien lo cumplen. $TEX: Demostracion :$ como trabajaremos dentro de la suposicion que el teorema a demostrar es cierto entonces es suficiente notar que $TEX: $ ( \rightarrow ) \sum_{k=1}^{k} \left\| a_k \right\|=\sum_{k=1}^{k} \left\| b_k \right\| \:y\: \sum_{k=1}^{k} a_k = \sum_{k=1}^{k} b_k7<br />$$ ,reciprocamente $TEX: $(\leftarrow)$$ aplicando lo primero y la funcion biyectiva $TEX: $f^-:N_k \rightarrow N_k$$ tenemos que $TEX: $a_i=b_{f^-f(i)}$$ $TEX: $Lema \:2:$$ $TEX: $\mbox{sean los numeros reales} \{a_1,a_2,\cdots,a_h\} <br />\mbox{que cumplen el teorema ,sea la funcion} $$ $TEX: $ biyectiva ,\alpha:N_k \rightarrow N_k / b_h=a_{\alpha(i)} , \mbox{es el menor valor no negativo para algun i }$$ $TEX: $ \mbox{y cardinal}\left(B=\{0 \le b_ i = a_ {\alpha(i)} \ne b_h \}\right ) \ge 1 \rightarrow \sum_{k=1}^{h-1}\frac{b_k}{k} \ge 0 $$ $TEX: Demostracion:$ tomando la funcion $TEX: $\alpha $$ para que los elementos de B esten en el orden y con los subindices siguientes $TEX: $ b_1 , b_2 , \cdots , b_j \rightarrow \sum_{k=1}^{h-1}\frac{b_k}{k}= \sum_{k=1}^{j}\frac{b_k}{k}+\sum_{k=j+1}^{h-1}\frac{b_k}{k} \cdots i$$ como $TEX: $\sum_{k=1}^{h}{b_k}=0 \rightarrow \sum_{k=1}^{j}b_k+b_h=-\sum_{k=j+1}^{h-1}b_k, $$ considerando $TEX: $\sum_{k=1}^{j}\frac{b_k}{j} \le \sum_{k=1}^{j}\frac{b_k}{k} \: ,y\: \sum_{k=j+1}^{h-1}\frac{b_k}{j+1} \ge \sum_{k=j+1}^{h-1}\frac{b_k}{k} \rightarrow \mbox{en i}$$ $TEX: $\sum_{k=1}^{j}\frac{b_k}{k}+\sum_{k=j+1}^{h-1}\frac{b_k}{k} \ge \sum_{k=1}^{j}\frac{b_k}{j}+\sum_{k=j+1}^{h-1}\frac{b_k}{j+1} = \frac{\left( j+1 \right) \sum_{k=1}^{j}b_k + j\sum_{k=j+1}^{h-1}b_k}{j \times \left( j+1 \right) }= \frac{(j+1)\sum_{k=1}^{j}{b_k}-j\left(\sum_{k=1}^{j}{b_k}+b_h \right)}{j \times (j+1)} =$$ $TEX: $ \frac{\sum_{k=1}^{j}b_k-jb_h}{j \times (j+1)} $$ y como $TEX: $ b_k \ge b_h $$ para todo $TEX: $ b_k \in B \rightarrow \sum_{k=1}^{h-1}\frac{b_k}{k} \ge 0 $$ ahora ya estamos listos: $TEX: $caso \:1:\mbox{ si solo existe un}\: x_i>0 \: que \: \in \{ x_1,x_2 \cdots x_{h+1}\} \rightarrow \:de \: \sum_{k=1}^{h+1} \left\| x_k \right\| =1 =-\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} x_k +x_i $$ y $TEX: $ \sum_{k=1}^{h+1} x_k =0= \displaystyle\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} x_k +x_i , \mbox{tenemos que} \:x_i=\frac{1}{2} , \displaystyle\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} x_k = -\frac{1}{2} $$ y como $TEX: $ -\frac{1}{2}= \displaystyle\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} x_k \le \displaystyle\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} \frac{x_k}{k} \le \displaystyle\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} \frac{x_k}{n+1} \rightarrow $$ $TEX: $ 0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}+\displaystyle\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} \frac{x_k}{k} \le \frac{1}{2} + \displaystyle\sum_{k=1,k \ne i}^{h+1} \frac{x_k}{n+1} =\frac{1}{2} +\frac{-1}{2 \times (h+1)} $$ tomando la funcion , $TEX: $ \alpha :N_{h+1} \rightarrow N_{h+1} / b_1=x_i \rightarrow \left\| \sum_{k=1}^{h+1}\frac{b_k}{k} \right\| \le \frac{1}{2}-\frac{1}{2 \times \left(h+1\right)}$$ y por el , $TEX: $ lema 1 $$ se concluye que los numeros reales $TEX: $\{ x_1,x_2 \cdots x_{h+1} \} $$ cumplen el teorema. $TEX: $caso \:2:$$ $TEX: $ \mbox{si hay mas de un}\: x_i>0$$ editado 21/4/07 perdon por la demora y brevemente dire que se debio a dos motivos primero que siempre hay otras cosas que hacer y segundo que me equivoque y he tratado de buscar como llegar al final sin tener que regresar al inicio pero parece que no hay otro camino asi que explico mi error: para el $TEX: $caso\:2$$ me habia proyectado(generalmente no uso apuntes ) en aplicar $TEX: $induccion$$ ,el $TEX: $lema\: 1$$ y $TEX: $lema \:2$$ asi: teniendo los reales $TEX: $x_1, \cdots ,x_{h+1}$$ que cumplen $TEX: $ \sum_{k=1}^{h+1} \left \| x_k \right \| =1 \:y\: \sum_{k=1}^{h+1}x_k=0 \rightarrow $$ para aplicar la hipotesis de induccion debo tener $TEX: $n$$ o menos cantidad de numeros asi que formo los numeros $TEX: $y_1=x_1,y_2=x_2,\cdots,y_j=x_p+x_q,\cdots,y_h=x_{h+1}$$ para algunos $TEX: $x_p,x_q>0$$ y se verifica que cumplen $TEX: $ \sum_{k=1}^{h} \left\| y_k \right\| =1 \:y\: \sum_{k=1}^{h}y_k=0 \rightarrow$$ podemos concluir que $TEX: $\left \| \sum_{k=1}^{h} \frac{ y_k}{k} \right\| \le \frac{1}{2} -\frac{1}{2h} $$ y por el $TEX: $ lema \: 2$$ podemos tener $TEX: $ \{z_i \} ,i=1, \cdots ,h $$ tal que tomando $TEX: $ z_h=y_j $$ que es $TEX: $ >0 \rightarrow \sum_{k=1}^{h-1}\frac{z_k}{k} \ge 0 \rightarrow $$ podemos establecer las relaciones $TEX: $\sum_{k=1}^{h-1} \frac{z_k}{k}+z_h= \sum_{k=1}^{h-1} \frac{b_k}{k}+\frac{x_p+x_q}{h} \ge \sum_{k=1}^{h-1}\frac{z_k}{k} +\frac{x_p}{h}+\frac{x_q}{h+1} \ge 0 $$ $TEX: $\rightarrow \sum_{k=1}^{h-1}\frac{z_k}{k} +\frac{x_p}{h}+\frac{x_q}{h+1} \le \sum_{k=1}^{h-1}\frac{z_k}{k} +\frac{x_p+x_q}{h} \le \frac{1}{2} -\frac{1}{2h} \le \frac{1}{2} -\frac{1}{2(h+1)} $$ , por el $TEX: $lema \:1$$ concluimos que los reales $TEX: $ \{x_i\},i=1,\cdots,(h+1)$$ cumplen el teorema y por la $TEX: $induccion$$ para todo $TEX: $n \in N$$ ,pero aqui hay un error hay una condicion que no se cumple para aplicar el $TEX: $lema \:2$$ y es que nada nos garantiza que $TEX: $z_h \le$$ para todo $TEX: $z_i \ge 0$$ este fue mi error,pero en este intento he notado otra forma de demostrar el teorema . Mensaje modificado por exp el Apr 21 2007, 07:03 PM

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 20 2007, 01:09 PM Publicado: #19
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(exp @ Mar 20 2007, 01:59 PM) hoola,el problema 2 sale rapidamente por induccion(esta permitido este metodo?) bueno lo pongo: para n=2 se cumple. supongo que se cumple para n=h ,osea que $TEX: \displaystyle\sum_{k=1}^{h}a/b$ ups luego lo termino. Claro que puedes hacerlo por el metodo que estimes conveniente. Lo que si seria importante es que justifiques todos los pasos (por ejemplo que si afirmas que para $TEX: $n=2$$ se cumple, des un breve argumento de aquello) Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

exp Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 25 2007, 12:54 PM Publicado: #20
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 15 Registrado: 13-November 06 Miembro Nº: 2.787 Nacionalidad: Sexo:	las proposiciones que usare seran evidentes o sino facilmente demostrado por induccion. $TEX: $sea\: n \in N\mbox{ fijo pero cualquiera}$:$ de $TEX: $ \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i} =0 ,\: y \: \displaystyle\sum_{i=1}^n{\left \|{x_i}\right \|}=1$$ tenemos que $TEX: $\displaystyle\sum_{}{x_{\ge 0}}=\displaystyle\frac{1}{2},\: y\: \displaystyle\sum_{}{x_{\le 0}}=-\displaystyle\frac{1}{2}$$ son correctas las sigiuentes desigualdades : $TEX: $ \displaystyle\sum_{}{x_{\ge 0}} \ge \displaystyle\sum_{}{\displaystyle\frac{x_{\ge 0}}{k}}$$ $TEX: $\displaystyle\sum_{}{x_{\le 0}} \le \displaystyle\sum_{}{\displaystyle\frac{x_{\le 0}}{k}} \le \displaystyle\sum_{}{\displaystyle\frac{x_{\le 0}}{n}}$$ usando el $TEX: lema\:2$ si es necesario tendre los reales $TEX: $\{y_i\}$$ $TEX: $ \rightarrow{} 0 \le \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{y_i}{i}}=\left \|{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{y_i}{i}}}\right \| \le $$ $TEX: $ \left \|{\displaystyle\sum_{}{y_{\ge 0}}+\displaystyle\sum_{}{\displaystyle\frac{y_{\le 0}}{n}}}\right \|= $$ $TEX: $\left \|{\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2n}}\right \|=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2n}$$ y por el $TEX: lema \:1$ los reales $TEX: $ \{x_i\}$$ cumplen el teorema . saludos.

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