XLII IMO (2001), Washington DC, Estados Unidos de América |
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XLII IMO (2001), Washington DC, Estados Unidos de América |
Jun 6 2007, 06:36 PM
Publicado:
#1
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Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
42ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Washington DC, Estados Unidos de América, 2001 Primera Prueba: Domingo 8 de julio de 2001 Problema 1: Sea acutángulo con circuncentro . Sea el pie de la altura desde . Suponga que . Pruebe que . Problema 2: Sean . Demuestre que: Problema 3: Veintiún chicas y veintiún chicos participan en una competencia matemática. • Cada participante resolvió a lo más seis problemas. • Al menos un problema fue resuelto por cada pareja de una chica y un chico. Demuestre que hubo un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos. Segunda Prueba: Lunes 9 de julio de 2001 Problema 4: Sea un entero impar mayor que y sean enteros dados. Para cada una de las permutaciones de , sea Pruebe que existen dos permutaciones y , tales que divide a Problema 5: En un acutángulo, sea tal que biseca al y sea tal que biseca al . Si se sabe que y que , ¿cuáles son los posibles ángulos del ? Problema 6: Sean enteros con . Suponga que Demuestre que no es primo. Resumen de soluciones -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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Jun 14 2007, 01:19 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Saludos |
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Jun 14 2007, 07:26 PM
Publicado:
#3
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Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Saludos Muy bien, excelente solución de nuestro IMOer . Nos queda uno menos en esta IMO Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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Dec 15 2007, 07:59 PM
Publicado:
#4
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Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Problema 1: Sea acutángulo con circuncentro . Sea el pie de la altura desde . Suponga que . Pruebe que . Solución al problema 1 Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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Jan 15 2008, 09:13 AM
Publicado:
#5
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Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 22-October 06 Desde: SJL - Lima Miembro Nº: 2.613 Nacionalidad: Sexo: |
Problema 6: Sean enteros con . Suponga que Demuestre que no es primo. Esta es una bella solución de un compañero mío, Jorge Tipe. Solución: implica . Entonces existe un triángulo de lados a, c, x tales que el ángulo opuesto a x es 60° y existe un triángulo de lados b,d y x tales que el ángulo opuesto a x es 120°. Pegando estos dos triángulo por el lado x, obtenemos un cuadrilátero cíclico de lados a,c,d,b (en ese orden) y de diagonal x y supongamos que la otra diagonal es y. Por el teorema de Ptolomeo xy= ad+bc y por el Teorema de Viete x/y=(ab+cd)/(ac+bd). Multiplicando . Como ab+cd>ac+bd (equivale (b-c)(a-d)>0) y suponiendo que ab + cd es primo, entonces ab+cd y ac+bd son pesi , entonces ac+bd divide a ad+bc, esto implica , esto es una contradicción.( Pues (ac+bd)-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0). |
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Feb 6 2008, 05:03 PM
Publicado:
#6
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Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Problema 5: En un acutángulo, sea tal que biseca al y sea tal que biseca al . Si se sabe que y que , ¿cuáles son los posibles ángulos del ? Solución al problema 5 Caso 1. , es decir, el orden lineal de los puntos es . Caso 2. , es decir, el orden lineal de los puntos es . Caso 3. , es decir, . Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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Aug 12 2009, 05:22 PM
Publicado:
#7
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 3-August 09 Miembro Nº: 56.376 Nacionalidad: Sexo: |
Lema: Sean $ a,b,c,d $ cuatro enteros positivos tales que $ ab=cd $ , entonces existen cuatro enteros positivos
$ m,n,p,q $ tales que $ a=mn $, $ b=pq $, $ c=mp $ y $ d=nq $. Prueba: Sea $ m=(a,c) $ luego $ a=mn $ y $ c=mp $ donde $ n $ y $ p $ son coprimos. Reescribiendo la igualdad: $ mnb=mpd $ o sea $ nb=pd $ en consecuencia $ p $ divide a $ nb $, luego a $ b $, entonces hagamos $ b=pq $, la ecuacion queda como $ npq=pd $ entonces $ d=nq $. De la hipotesis del problema $ ac+bd=(b+d)^2-(c-d)^2=b^2+2bd+d^2-a^2+2ac-c^2 $ entonces $ ac+bd=(a^2-d^2)-(b^2-c^2) $, ademas $ ac+bd=a(b+c)-b(a-d) $ por lo que $ (a+d)(a-d)-(b+c)(b-c)=a(b+c)-b(a-d) $ entonces $ (b+c)(a+b-c)=(a-d)(a+b+d) $. Por el lema, existen enteros positivos $ m,n,p,q $ tales que $ b+c=mn $, $ a+b-c=pq $, $ a-d=mp $ y $ a+b+d=nq $. $ (*) $ Por otro lado, notar que $ ab+cd=a(b+c)-c(a-d)=(mp+d)mn-(mn-b)mp=m^2pn+mnd-m^2np+mpb=m(nd+pb) $. Observamos que $ nd+pb>1 $ entonces es suficiente demostrar que $ m>1 $. Sumando los cuatro expresiones de $ (*) $ obtenemos: $ 3(a+b)=(m+q)(n+p) $, nuevamente por el lema existen cuatro enteros positivos $ x,y,z,w $ tales que $ 3=xy $, $ a+b=zw $, $ m+q=xz $ y $ n+p=yw $. Ahora supongamos que $ m=1 $. Analizaremos dos casos: I) Si $ x=1 $ y $ y=3 $: Entonces $ q+1=z $ y $ 3w=n+p=m(n+p)=a+b+c-d=zw+c-d $ luego $ c-d=w(3-z) $ como $ c-d>0 $ entonces $ 3>z $. Pero si $ z=1 $ tendriamos que $ q=0 $, contradiccion. Y si $ z=2 $ seria $ q=1 $ entonces $ pq=p=a+b-c=mp=a-d $ o sea $ b-c=-d $, absurdo. II) Si $ x=3 $ y $ y=1 $: Entonces $ m+q=q+1=3z $ y $ w=n+p=m(n+p)=a+b+c-d=zw+c-d $ en consecuencia $ c-d=w(1-z) $ por ende $ 1>z $, absurdo. Entonces $ m>1 $. Por lo tanto $ ab+cd $ no es primo. [tex][/tex] $ CQD $ Mensaje modificado por Fergs el Aug 12 2009, 05:32 PM |
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Aug 12 2009, 05:50 PM
Publicado:
#8
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 3-August 09 Miembro Nº: 56.376 Nacionalidad: Sexo: |
[tex][/tex]$ ab+cd $
Mensaje modificado por Fergs el Aug 12 2009, 05:51 PM |
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Aug 12 2009, 05:52 PM
Publicado:
#9
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 3-August 09 Miembro Nº: 56.376 Nacionalidad: Sexo: |
¿Como escribo con latex?
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Oct 13 2009, 06:06 PM
Publicado:
#10
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Maestro Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 114 Registrado: 4-March 09 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 44.042 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
$ CQD $ Ahi para que los niños entiendan en la casa.........(membrillo) Lo unico que te falto fue poner todo el texto entremedio de ->>>( [tex][/tex]) nada mas -------------------- |
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