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Prueba de selección 2001, Sin resolver: 1, 3

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2007, 09:41 AM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Antes que se me olvide, una generalización del problema 2, disponible aquí: Problema 2': Sea $TEX: $n\in\mathbb Z^+$$ . Encuentre la mayor constante $TEX: $C_n$$ tal que $TEX: $a^{2n}+b^{2n}\ge C_n$$ , para todo $TEX: $a,b\in\mathbb R$$ , con $TEX: $a+b=1$$ -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 8 2007, 01:45 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución P2': $TEX: Aplicando Jensen a la funci\'on convexa $f(x)=x^{2n}$ con $n\in\mathbb{N}$:$ $TEX: $\dfrac{1}{2}f(a)+\dfrac{1}{2}f(b)\ge f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$$ $TEX: $a^{2n}+b^{2n}\ge \dfrac{1}{2^{2n-1}}$$ $TEX: $\boxed{\therefore C_n=\dfrac{1}{2^{2n-1}}}$$ Saludos

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 8 2007, 07:27 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Mar 8 2007, 03:45 PM) Solución P2': $TEX: Aplicando Jensen a la funci\'on convexa $f(x)=x^{2n}$ con $n\in\mathbb{N}$:$ $TEX: $\dfrac{1}{2}f(a)+\dfrac{1}{2}f(b)\ge f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$$ $TEX: $a^{2n}+b^{2n}\ge \dfrac{1}{2^{2n-1}}$$ $TEX: $\boxed{\therefore C_n=\dfrac{1}{2^{2n-1}}}$$ Saludos Bonita solución. Saludos. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2009, 01:51 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Nada que agregar, excelente solución al problema 2'. Todavía esperamos una segunda solución para dicho problema. Pueden inspirarse en la solución que escribí para el problema 2. Un saludo -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2009, 08:37 AM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 1: Notemos que $TEX: $42a+650b=2(21a+325b)$$ , por lo tanto $TEX: $n$$ debe ser par. Por otra parte, como el par $TEX: $(31,-2)$$ satisface la ecuacion diofantina $TEX: $42a+650b=2$$ , obtenemos que el par $TEX: $(31m,-2m)$$ satisface la ecuacion diofantina $TEX: $42a+650b=2m$$ , siendo $TEX: $m$$ un entero. Se sigue que para todos los valores pares de $TEX: $n$$ existen enteros $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ tales que $TEX: $42a+650b=n$$ . Debemos hallar en cuantos ceros termina el producto $TEX: $P=2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot 1000=2^{500}\cdot 500!$$ . Por la formula de Polignac, el mayor exponente $TEX: $\alpha$$ de $TEX: $5$$ que divide a $TEX: $500!$$ es $TEX: $\alpha=\left[\displaystyle \frac{500}{5}\right]+\left[\displaystyle \frac{500}{5^2}\right]+\left[\displaystyle \frac{500}{5^3}\right]+\left[\displaystyle \frac{500}{5^4}\right]+...=100+20+4+0+...=124$$ Donde $TEX: $\left[x\right]$$ representa la parte entera de $TEX: $x$$ . (Notemos que $TEX: $\forall k\ge 4$$ se cumple que $TEX: $\left[\displaystyle \frac{500}{5^k}\right]=0$$ ). Obtenemos que $TEX: $P=2^{500}\cdot 5^{124}\cdot P_{1}=2^{376}\cdot 10^{124}\cdot P_{1}$$ , donde $TEX: $P_{1}=\displaystyle \frac{500!}{5^{124}}$$ , el cual es entero. Notemos que por Polignac habiamos obtenido que $TEX: $124$$ es el mayor exponente de $TEX: $5$$ que divide $TEX: $500!$$ , es decir, $TEX: $5^{124}$$ divide a $TEX: 500!$ , pero $TEX: $5^{125}$$ no lo divide. Se sigue que $TEX: $P_{1}$$ no tiene ningun otro factor $TEX: $5$$ en su factorizacion prima, es decir, no es multiplo de $TEX: $5$$ . Luego $TEX: $2^{376}\cdot P_{1}$$ no es multiplo de $TEX: $5$$ , y por consiguiente no es multiplo de $TEX: $10$$ . Por lo tanto $TEX: $10^{124}$$ es la mayor potencia de $TEX: $10$$ que divide $TEX: $P$$ es decir, el producto pedido termina en $TEX: $124$$ ceros. Espero que ahora si. Saludos Mensaje modificado por Kain #13 el Oct 23 2009, 08:13 PM -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2009, 11:00 AM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ahora sí, tenemos solución correcta para el problema 1 -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2009, 05:01 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2' Demostraremos que si dados $TEX: $a,b \in \mathbb{R}$$ tales que $TEX: $a^k+b^k=1$$ para algún $TEX: $k\in \mathbb{N}: k<2n$$ con $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ , entonces $TEX: $a^{2n}+b^{2n}\ge \dfrac{1}{2^{\frac{2n}{k}-1}}$$ y que esta cota es la mejor. Notemos que si $TEX: $a$$ o $TEX: $b$$ es negativo o cero, entonces $TEX: $a^{2n}+b^{2n}\ge 1$$ , luego queda demostrado para estos casos. Si $TEX: $a,b>0$$ , por MA-MG: $TEX: $\dfrac{a^{2n}(k)+(2^{-1})^{\frac{2n}{k}}(2n-k)}{2n}\ge a^k(2^{-1})^{\frac{2n-k}{k}}$$ $TEX: $a^{2n}\ge \dfrac{(2^{-1})^{\frac{2n}{k}-2}na^k-(2^{-1})^{\frac{2n}{k}-1}(2n-k)}{k}$$ Analogamente $TEX: $b^{2n}\ge \dfrac{(2^{-1})^{\frac{2n}{k}-2}nb^k-(2^{-1})^{\frac{2n}{k}-1}(2n-k)}{k}$$ Sumando $TEX: $a^{2n}+b^{2n}\ge \dfrac{1}{2^{\frac{2n}{k}-1}}$$ y ésta cota es la mejor ya que se da la igualdad para $TEX: $a=b=2^{-\frac{1}{k}}$$ Saludos

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2009, 11:21 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se me ocurrió (gracias a Dios) otra solución al problema 2 (no la nueva forma propuesta por xsebastian sino el de la prueba), espero esté correcta: $TEX: Se sabe que $a^2+b^2=1-2ab$* y que para $a, b \in \mathbb{R}$ se cumple que $(b-a)^2 \ge 0 \implies b^2+a^2 \ge 2ab$.$ $TEX: Si sumamos a esta última desigualdad la primera expresión (es decir ) obtenemos que $2a^2+2b^2 \ge 1 \implies a^2+b^2 \ge \dfrac{1}{2}$. Elevando al cuadrado obtenemos $a^4+2a^2b^2+b^4 \ge \dfrac{1}{4}$. Y se sabe que $(b^2-a^2)^2 \ge 0 \implies a^4-2a^2b^2 +b^4 \ge 0$. Sumando las últimas desigualdades obtenemos $2a^4+2b^4 \ge \dfrac{1}{4}\implies a^4+b^4 \ge \dfrac{1}{8}$.$ Saludos PD: se cke ya lo habian resuelto, pero me interesó y no habían posteado esta solución. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...*

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2009, 12:36 AM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Nov 17 2005, 08:52 PM) Problema 3: En un tablero cuadrado que tiene un número par de casillas, pintado como un tablero de ajedrez, se coloca un número en cada casilla, según las siguientes reglas: En cada casilla blanca se escribe un 0 o un 1. Al final, el número de casillas blancas con dígitos 0 debe ser igual al número de casillas blancas con dígitos 1. En cada casilla negra se escribe la suma de los números escritos en las cuatro casillas blancas vecinas Si se colocan los números para minimizar la suma total, el resultado es $TEX: $m$$ . Si se colocan para maximizar la suma total, el resultado es $TEX: $m+1996$$ . Encuentre las dimensiones del tablero. $TEX: Consideremos un tablero de $2n$x$2n$ coloreado de forma similar a un tablero de ajedrez, en el cual en cada una de las $2n^2$ casillas blancas se coloca un 0 y sea $S$ la suma de los numeros en el tablero. Seleccionaremos una casilla blanca, y reemplazaremos el 0 por un 1; y a las casillas vecinas se les sumara $1$. Consideremos 3 casos:<br /><br />i) Si la casilla blanca escogida esta en una esquina del tablero, posee 2 casillas vecinas. Entonces hay tres casillas cuyo numero aumenta en 1, y la nueva suma del tablero va a ser $S+3$). En este caso, se dira que sumamos $+3$<br /><br />ii) Suponga que la casilla blanca escogida esta al borde del tablero, pero no en la esquina. Entonces posee $3$ casillas vecinas, y por lo tanto hay $4$ casillas cuyo numero aumenta en $1$. La nueva suma seria entonces $S+4$. Aqui diremos que sumamos $+4$<br /><br />iii) La casilla no pertenece a los bordes del tablero, esta mas al interior. Posee $4$ casillas vecinas, y son $5$ las casillas que suman $1$ a su numero, permitiendo que la nueva suma sea $S+5$. Se señalara que se sumo $+5$ <br /><br />Consideremos ahora $n\ge 4$. Consideremos el tablero de $2n$x$2n$ con todas sus casillas nulas. Si queremos alcanzar una suma maxima (digamos, $S_{max}$), debemos intentar sumar la mayor cantidad de $+5' s$ posibles. En total debemos colocar $n^2$ unos en el tablero. Por otra parte, si consideramos el subtablero interior de $(2n-2)$x$(2n-2)$, en el cual ninguno de los lados del tablero coincide con los bordes del tablero, veamos que hay $2(n-1)^2$ casillas blancas. Ahora, como $n\ge 4$:<br /><br />$2(n-1)^2=(n-2)^2-2+n^2>n^2$ <br /><br />Esto significa que hay mas casilleros blancos en el subtablero que la cantidad de unos que queremos distribuir, y por ende podemos distribuir sin ningun problema los $n^2$ unos que queremos distribuir. Como cada 1 esta en el interior del subtablero, cada $1$ es del tipo $+5$, y por lo tanto la suma del tablero es $5n^2$, por lo tanto $S_{max}=5n^2$<br /><br />Por otro lado, ahora intentemos calcular la menor suma (la cual denotaremos como $S_{min}$). Aqui debemos distribuir los unos en los casilleros , maximizando la cantidad de $+3$ y $+4$. Facilmente se ve que solo hay dos casilleros $+3$, y no es dificil ver que en el borde del tablero hay en total $(2n)^2-(2n-2)^2=8n-4$ casillero, y por simetria la mitad de estas casillas son blancas, es decir, $4n-2$ blancas. Pero nosotros ya hemos ocupado $2$ de esas casillas, asi que nos quedan $4n-4$ casillas del tipo $+4$. Por lo tanto, debemos colocar $n^2-(4n-4+2)=n^2-4n+2$ unos en las casillas del tipo $+5$, y como $n\ge 4$:$ $TEX: $n^2-4n+2=(n-2)^2-2>0$<br /><br />Por lo tanto existen casilleros del tipo $+5$, y esto explica como "magicamente" se consiguio esa cota para $n$. Luego:<br /><br />$S_{min}=3\cdot 2+4(4n-4)+5(n^2-4n+2)=5n^2-4n$<br /><br />Por lo tanto $4n=S_{max}- S_{min}=1996$, de donde se obtiene que las dimensiones del tablero son $998$x$998$$ CITA(xsebastian @ Feb 21 2007, 10:41 AM) Problema 2': Sea $TEX: $n\in \mathbb{Z}^+$$ . Encuentre la mayor constante $TEX: $C_n$$ tal que $TEX: $a^{2n}+b^{2n}\ge C_n$$ , para todo $TEX: $a,b\in \mathbb{R}$$ , con $TEX: $a+b=1$$ $TEX: Mostraremos que $C_n=2^{1-2n}$ y para ello procederemos por induccion. Para $n=1$, notemos que por $QM\ge AM$:<br /><br />$\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge (\dfrac{a+b}{2})^2\rightarrow a^2+b^2\ge \dfrac{1}{2}$<br /> <br />Con igualdad si $a=b=\dfrac{1}{2}$. Supongamos que para $n=k$ es cierta la proposicion. Entonces la probaremos para $n=k+1$. Veamos previamente que $a^2-b^2$ y $a^{2k}-b^{2k}$ tienen el mismo signo (esto, pues si $x$ e $y$ son positivos, con $x\ge y$, se cumple que $x^k\ge y^k$), y esto es equivalente a que $(a^2-b^2)(a^{2k}-b^{2k})\ge 0$. Por lo tanto:<br /><br />$a^{2k+2}+b^{2k+2}=\dfrac{1}{2}((a^2-b^2)(a^{2k}-b^{2k})+(a^2+b^2)(a^{2k}+b^{2k}))$<br /><br />$\ge\dfrac{1}{2}(0+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2^{2k-1}})= \dfrac{1}{2^{2(k+1)-1}}$<br /><br />Donde la igualdad se alcanza si $a=b=\dfrac{1}{2}$, finalizando la demostracion.$ Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2012, 03:46 AM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(xsebastian @ Jul 17 2006, 09:09 PM) La solución es correcta, por parte de Guía Rojo, incluyendo la justificación de sebagarage Aquí voy a poner la solución que se me ocurrió en la prueba (así, cuando lean ustedes, contarán con una herramienta más): Como $TEX: $a+b=1$$ , entonces existe $TEX: $k\in\mathbb{R}$$ tal que $TEX: $a=\dfrac{1}{2}+k$$ y $TEX: $b=\dfrac{1}{2}-k$$ Entonces: $TEX: $a^4+b^4=\left(\dfrac{1}{2}+k\right)^4+\left(\dfrac{1}{2}-k\right)^4=\dfrac{1}{8}+3k^2+2k^4\ge\dfrac{1}{8}$$ Con igualdad si y sólo si $TEX: $k=0$$ (o sea, si $TEX: $a=b=\dfrac{1}{2}$$ ) Es idea mia o es un "clásico" hacer eso de tomar un $TEX: $k$$ tal que haga esa magia? he visto esa misma tech para resolver un problema donde también se tenía el dato de que $TEX: $a+b=1$$ -------------------- Me voy, me jui.

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