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Prueba de selección 2001, Sin resolver: 1, 3

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 17 2005, 07:52 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Esta prueba fue una ofensa: una vulgar copia de olimpiadas rioplatenses 16ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS Prueba de selección, año 2001 - Chile Lunes 10 de Septiembre Problema 1: Considere todos los $TEX: $n\in\{1,...,1000\}$$ que pueden escribirse como $TEX: $n=42a+650b$$ , con $TEX: $a,b\in\mathbb{Z}$$ . ¿En cuántos ceros termina el producto de todos ellos? Problema 2: Si $TEX: $a,b\in\mathbb{R}$$ , con $TEX: $a+b=1$$ , pruebe que $TEX: $a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}$$ Problema 3: En un tablero cuadrado que tiene un número par de casillas, pintado como un tablero de ajedrez, se coloca un número en cada casilla, según las siguientes reglas: En cada casilla blanca se escribe un 0 o un 1. Al final, el número de casillas blancas con dígitos 0 debe ser igual al número de casillas blancas con dígitos 1. En cada casilla negra se escribe la suma de los números escritos en las cuatro casillas blancas vecinas Si se colocan los números para minimizar la suma total, el resultado es $TEX: $m$$ . Si se colocan para maximizar la suma total, el resultado es $TEX: $m+1996$$ . Encuentre las dimensiones del tablero. Problema 4: Las circunferencias $TEX: $C_1,C_2$$ son tangentes interiormente a la circunferencia $TEX: $C$$ en los puntos $TEX: $A,B$$ , respectivamente. La recta tangente interior común a $TEX: $C_1$$ y $TEX: $C_2$$ toca a estas circunferencias en $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ , respectivamente. Demuestre que $TEX: $\overleftrightarrow{AP}$$ y $TEX: $\overleftrightarrow{BQ}$$ intersecan nuevamente a $TEX: $C$$ en puntos diametralmente opuestos. Resumen de soluciones: Problema 1: Pendiente de solución Problema 2: Aquí, resuelto por Guía Rojo Aquí, resuelto por xsebastian Problema 3: Pendiente de solución Problema 4: resuelto por Killua -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2006, 08:13 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(xsebastian @ Nov 17 2005, 09:52 PM) Esta prueba fue una ofensa Problema 2: Si $TEX: $a,b\in\mathbb{R}$$ , con $TEX: $a+b=1$$ , pruebe que $TEX: $a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}$$ [jugo]apoyo completamente este fragmento escrito por xsebastian[/jugo] tenemos: $TEX: $a+b=1\Longrightarrow a^2+b^2=1-2ab$$ $TEX: $a^4+b^4+2a^2b^2=1-4ab+4a^2b^2$$ $TEX: $\boxed{a^4+b^4=2a^2b^2-4ab+1}$$ pero también: $TEX: $1=a^2+b^2+2ab\geq 4ab\Longleftrightarrow \dfrac{1}{4}\geq ab$$ $TEX: $-\dfrac{3}{4}\geq ab-1\Longrightarrow \dfrac{9}{16}\leq (ab-1)^2$$ (nótese que el cambio del sentido de la desigualdad es justificado, descúbrase por qué... ) $TEX: $a^2b^2-2ab+1\geq \dfrac{9}{16}$$ $TEX: $2a^2b^2-4ab+2\geq \dfrac{9}{8}$$ $TEX: $2a^2b^2-4ab+1\geq \dfrac{1}{8}$$ $TEX: $\boxed{a^4+b^4\geq \dfrac{1}{8}}$$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2006, 08:28 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA $TEX: $-\dfrac{3}{4}\geq ab-1\Longrightarrow \dfrac{9}{16}\leq (ab-1)^2$<br />$ (nótese que el cambio del sentido de la desigualdad es justificado, descúbrase por qué... ) $TEX: <br />% MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l<br />% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R<br />% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa<br />% caGaaeqabaaaamaaaOabaeqabaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIZaaaba<br />% GaaGinaaaacqGHLjYScaWGHbGaamOyaiabgkHiTiaaigdaaeaadaWc<br />% aaqaaiaaiodaaeaacaaI0aaaaiabgsMiJkaaigdacqGHsislcaWGHb<br />% GaamOyaaqaamaalaaabaGaaGyoaaqaaiaaigdacaaI2aaaaiabgsMi<br />% JkaacIcacaaIXaGaeyOeI0IaamyyaiaadkgacaGGPaWaaWbaaSqabe<br />% aacaaIYaaaaOGaeyypa0JaaiikaiaadggacaWGIbGaeyOeI0IaaGym<br />% aiaacMcadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaadaWcaaqaaiaaiMdaae<br />% aacaaIXaGaaGOnaaaacqGHKjYOcaGGOaGaamyyaiaadkgacqGHsisl<br />% caaIXaGaaiykamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaaa!5A5A!<br />\[<br />\begin{array}{l}<br /> - \frac{3}{4} \ge ab - 1 \\ <br /> \frac{3}{4} \le 1 - ab \\ <br /> \frac{9}{{16}} \le (1 - ab)^2 = (ab - 1)^2 \\ <br /> \frac{9}{{16}} \le (ab - 1)^2 \\ <br /> \end{array}<br />\]$ -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2006, 09:09 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución es correcta, por parte de Guía Rojo, incluyendo la justificación de sebagarage Aquí voy a poner la solución que se me ocurrió en la prueba (así, cuando lean ustedes, contarán con una herramienta más): Como $TEX: $a+b=1$$ , entonces existe $TEX: $k\in\mathbb{R}$$ tal que $TEX: $a=\dfrac{1}{2}+k$$ y $TEX: $b=\dfrac{1}{2}-k$$ Entonces: $TEX: $a^4+b^4=\left(\dfrac{1}{2}+k\right)^4+\left(\dfrac{1}{2}-k\right)^4=\dfrac{1}{8}+3k^2+2k^4\ge\dfrac{1}{8}$$ Con igualdad si y sólo si $TEX: $k=0$$ (o sea, si $TEX: $a=b=\dfrac{1}{2}$$ ) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

=3fR4= Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2006, 04:25 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 27 Registrado: 31-October 05 Miembro Nº: 355	p1) ... notemos que n siempre sera par, para que la multiplicacion de todos ellos sea divisible por 10, entonces deben haber factores 5, y solo podremos encontrar estos en algun n si va acompañado por un 2, es decir, si es divisible por 10. Luego a=5k , con k perteneciente a Z => n=10(21k+65) cuantos numeros podemos formar de esta forma? basta reemplazar k=3 y b=-1 =>n=10 ... luego si utilizamos k=3h y b=-h obtendremos todos los valores de n divisibles por 10 entre 1 y 1000 (n=10,20,…,1000), los cuales son 1000/10=100 notemos que en este caso n es de la fomra n=10j , para todo j=1,2,3,...,100 ademas debemos analizar cuantos j poseen algun factor 5 , cuya cantidad es 100/5=20. Pero alguno de estos tienen potencias de cinco mayor o igual que 2, y estan represntados por 100/25=4 ... ya que 125>100. En total hay 24 factores 5 adicionales. Reemplazando a=16g y b=-g resulta n=22g como 22g<1000 g<45 suficientes valores para cubrir los 24 factores 5 que sobraron de los n divisibles por 10, con lo que podremos formar 24 nuevos factores diez en la multiplicación de todos los n de la forma que indica el problema. En total entonces habran 100+24 factores 10 en este producto y por ende terminara en 124 ceros.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 29 2006, 11:09 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Se han eliminado los mensajes "de jugo" escritos durante el día de hoy, por no representar un aporte a la solución de los problemas que quedan pendientes en esta prueba de selección. No he contado con mucho tiempo últimamente, pero pronto podré calificar la solución de =3fR4=, al problema 1. A menos que otro usuario desee hacerlo en mi lugar. A primera vista, todavía se pueden pulir ciertos detalles para que quede mejor presentados Salu y se esperan las respuestas a los problemas pendientes -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

ZeuS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 14 2006, 12:01 AM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 209 Registrado: 12-June 05 Desde: Sagrados Corazones Alameda Miembro Nº: 98 Nacionalidad: Sexo:	SOLUCION P.2 Tenemos que: $TEX: $a^4 + b^4 = \dfrac{a^4}{1} + \dfrac{b^4}{1}$$ Ocupando un aplicacion de la desigualdad de Cauchy Shwarz tenemos que: $TEX: $\dfrac{a^4}{1} + \dfrac{b^4}{1}\ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}$$ Pero $TEX: $a^2+b^2 = \dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}\ge \dfrac{(a+b)^2}{2}$$ . Ocupando esto en nuestra desigualdad tenemos que: $TEX: $a^4 + b^4\ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}\ge \dfrac{\left(\dfrac{(a+b)^2}{2}\right)^2}{2} = \dfrac{\dfrac{(a+b)^4}{4}}{2} = \dfrac{(a+b)^4}{8} = \dfrac{1}{8}$$ Ya que $TEX: $a+b=1$$ . De esta forma, la desigualdad queda demostrada. -------------------- SS - CC , SS - CC , SS - CC , SAGRADOS CORAZONES DE ALAMEDA!! T_TNIVERSIDAD DE CHILE GRACIAS POR EXISTIR!!! VAMOS LOS LEONES!!!

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2007, 06:58 PM Publicado: #8
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 4 Lema: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img403.imageshack.us/img403/96/circbr4.png');}" /> $TEX: \noindent Considere dos circunferencias, una tangente interiormente a la otra en el punto $A$ (ver figura). Sea $BC$ una cuerda tangente a la circunferencia peque\~na en $T$. La recta $AT$ corta otra vez a la circunferencia mayor en $M$. Entonces $M$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$.$ Demostración: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img409.imageshack.us/img409/9969/lemakx4.png');}" /> $TEX: \noindent Trazamos la tangente por $A$ a la circunferencia mayor (y a la vez es tangente a la menor). Esta tangente corta a la recta $BC$ en $D$. Sea $\angle{ABC}=a$, se tiene que el $\angle{DAC}=a$ (por ser \'angulo semiinscrito en el mismo arco). Sean $\angle{BAT}=x$ y $\angle{TAC}=y$. Como $DT$ es tangente a la circunferencia peque\~na, se sigue que $DA=DT$. Luego $y+a=\angle{ATD}=x+a\Rightarrow{x}=y\Longrightarrow$ los arcos $BM$ y $MC$ son iguales, luego $M$ es punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A\ \square$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img409.imageshack.us/img409/3382/iberoclashu7.png');}" /> $TEX: \noindent Vamos al problema. Sea $M$ el punto de intersecci\'on de la recta $AP$ con la circunferencia mayor, y sea $N$ el punto de intersecci\'on de la recta $BQ$ con la circunferencia mayor. Por nuestro lema, se sigue que $M$ es el punto medio del arco $DC$ que no contiene a $A$, luego $DM=MC$ (ambos arcos). Tambi\'en por el lema, $N$ es punto medio del arco $CD$ que no contiene a $B$, entonces $CN=ND$ (ambos arcos). Luego $NC+CM=ND+DM$, o sea, $M$ y $N$ son diametralmente opuestos $\blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2007, 11:51 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(=3fR4= @ Aug 29 2006, 06:25 PM) p1) ... notemos que n siempre sera par, para que la multiplicacion de todos ellos sea divisible por 10, entonces deben haber factores 5, y solo podremos encontrar estos en algun n si va acompañado por un 2, es decir, si es divisible por 10. Luego a=5k , con k perteneciente a Z => n=10(21k+65) cuantos numeros podemos formar de esta forma? basta reemplazar k=3 y b=-1 =>n=10 ... luego si utilizamos k=3h y b=-h obtendremos todos los valores de n divisibles por 10 entre 1 y 1000 (n=10,20,…,1000), los cuales son 1000/10=100 notemos que en este caso n es de la fomra n=10j , para todo j=1,2,3,...,100 ademas debemos analizar cuantos j poseen algun factor 5 , cuya cantidad es 100/5=20. Pero alguno de estos tienen potencias de cinco mayor o igual que 2, y estan represntados por 100/25=4 ... ya que 125>100. En total hay 24 factores 5 adicionales. Reemplazando a=16g y b=-g resulta n=22g como 22g<1000 g<45 suficientes valores para cubrir los 24 factores 5 que sobraron de los n divisibles por 10, con lo que podremos formar 24 nuevos factores diez en la multiplicación de todos los n de la forma que indica el problema. En total entonces habran 100+24 factores 10 en este producto y por ende terminara en 124 ceros. La respuesta es correcta pero el desarrollo tiene algunas lagunas. CITA => n=10(21k+65b) cuantos numeros podemos formar de esta forma? basta reemplazar k=3 y b=-1 =>n=10 ... luego si utilizamos k=3h y b=-h obtendremos todos los valores de n divisibles por 10 entre 1 y 1000 Aquí no sé que te pasó, pero los valores $TEX: k=3$ y $TEX: b=-1$ están mal escogidos. Valores que si te sirven para que $TEX: n=10$ son $TEX: k=-99$ y $TEX: b=32$ , aunque no son tan fáciles de hallar (de hecho no es necesario hallarlos para justificar su existencia). CITA Reemplazando a=16g y b=-g resulta n=22g como 22g<1000 g<45 Nuevamente los valores están mal escogidos (de hecho esta parte está de más, pues tú ya habías hecho notar que todos los $TEX: n$ eran pares) Problema aún pendiente (una justificación de porque existen enteros $TEX: k$ y $TEX: b$ tales que $TEX: 10=210k+650b$ en una solución más ordenada). Saludos. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2007, 12:03 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Feb 11 2007, 08:58 PM) Solución al problema 4 Lema: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img403.imageshack.us/img403/96/circbr4.png');}" /> $TEX: \noindent Considere dos circunferencias, una tangente interiormente a la otra en el punto $A$ (ver figura). Sea $BC$ una cuerda tangente a la circunferencia peque\~na en $T$. La recta $AT$ corta otra vez a la circunferencia mayor en $M$. Entonces $M$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$.$ Demostración: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img409.imageshack.us/img409/9969/lemakx4.png');}" /> $TEX: \noindent Trazamos la tangente por $A$ a la circunferencia mayor (y a la vez es tangente a la menor). Esta tangente corta a la recta $BC$ en $D$. Sea $\angle{ABC}=a$, se tiene que el $\angle{DAC}=a$ (por ser \'angulo semiinscrito en el mismo arco). Sean $\angle{BAT}=x$ y $\angle{TAC}=y$. Como $DT$ es tangente a la circunferencia peque\~na, se sigue que $DA=DT$. Luego $y+a=\angle{ATD}=x+a\Rightarrow{x}=y\Longrightarrow$ los arcos $BM$ y $MC$ son iguales, luego $M$ es punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A\ \square$$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img409.imageshack.us/img409/3382/iberoclashu7.png');}" /> $TEX: \noindent Vamos al problema. Sea $M$ el punto de intersecci\'on de la recta $AP$ con la circunferencia mayor, y sea $N$ el punto de intersecci\'on de la recta $BQ$ con la circunferencia mayor. Por nuestro lema, se sigue que $M$ es el punto medio del arco $DC$ que no contiene a $A$, luego $DM=MC$ (ambos arcos). Tambi\'en por el lema, $N$ es punto medio del arco $CD$ que no contiene a $B$, entonces $CN=ND$ (ambos arcos). Luego $NC+CM=ND+DM$, o sea, $M$ y $N$ son diametralmente opuestos $\blacksquare$$ Saludos Solución correctísima. Felicitaciones. Saludos. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

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