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Suma satanica, muahaha! by Pasten

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Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2007, 06:52 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent<br />Demuestre que<br />$$\frac{1}{2}\left(\frac{\phi(1)}{6}+\frac{\phi(2)}{66}+\frac{\phi(3)}{666}+\frac{\phi(4)}{6666}+...\right) =\frac{\phi(66)}{\phi(666)}$$<br />donde $\phi$ es la funcion de Euler contadora de coprimos, y en el lado izquierdo cada denominador tiene tantas cifras como lo indica el valor del argumento de $\phi$ en el numerador de la misma fraccion.\\<br />(Si alguien no lo cree, que calcule a mano algunos terminos... digamos uno, dos o tres... sorprendase! muahahaha!)\\<br />\\<br />Saludos<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

fadeintome Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2007, 03:25 AM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 53 Registrado: 14-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 24 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Lo pedido puede ser escrito de esta forma. $TEX: $\displaystyle\dfrac{1}{2}(\sum_{n=1}^{\infty}\phi(n)\dfrac{9}{6(10^{n}-1)})=\dfrac{\phi(66)}{\phi(666)}\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\phi(n)\dfrac{1}{10^{n}-1}=\dfrac{10}{9^2}$$ Lo cual se probará a través de un resultado más general. LEMA1: $TEX: $\displaystyle \|x\|\le 1 \Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d\|n}^{}f(d))x^{n}$$ Demostración del LEMA1: Desarrollando el lado izquierdo es fácil obtener lo del centro, que es equivalente a lo de la derecha. $TEX: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d\|n}f(d))x^{n}= \sum_{n=1}^{\infty}(( f(n)x^{n})\sum_{k=0}^{\infty}x^{nk}=\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}$$ LEMA2: $TEX: $\displaystyle n\ge 1\Rightarrow\sum_{d\|n}\phi(d)=n$$ Demostración del LEMA2: Sea $TEX: $\displaystyle S=\left\{1,2,3,…,n\right\}$$ . $TEX: $\displaystyle (\forall d:d\|n)$$ se define $TEX: $\displaystyle A(d)=\left\{k:(k,n)=d,1\le k\le n\right\}$$ , entonces los conjuntos $TEX: $\displaystyle A(d)$$ particionan $TEX: $S$$ . Sea $TEX: $\displaystyle f(d)=\|A(d)\|$$ , entonces $TEX: $\displaystyle\sum_{d\|n}f(d)=n$$ . Además $TEX: $\displaystyle (k,n)=d \Leftrightarrow (\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d})=1(1)$$ y $TEX: $\displaystyle 0\le k\le n \Leftrightarrow 0\le \dfrac{k}{d}\le \dfrac{n}{d}(2)$$ . De esta manera si $TEX: $\displaystyle q=\dfrac{k}{d}$$ , existe una biyección entre los elementos de $TEX: $\displaystyle A(d)$$ y los $TEX: $\displaystyle q=\dfrac{k}{d}$$ que satisfacen $TEX: $(1)$$ y $TEX: $(2)$$ , como el número de elementos que verifican $TEX: $(1)$$ y $TEX: $(2)$$ es $TEX: $f(d)=\phi(\dfrac{n}{d})$$ , se tiene que $TEX: $\displaystyle\sum_{d\|n}f(d)=\sum_{d\|n}\phi(\dfrac{n}{d})=\sum_{d\|n}\phi(d)=n$$ LEMA3: $TEX: $\|x\| \le 1 \Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\phi(n)\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}=\dfrac{x}{(1-x)^{2}}$$ Demostración del LEMA3: Usando el LEMA1 y el LEMA2 se tiene que: $TEX: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\phi(n)\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}$$ Notar que: $TEX: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\dfrac{1}{1-x}$$ $TEX: $\displaystyle\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\dfrac{x}{(1-x)^2}$$ De donde se completa la prueba del LEMA3. Ahora se utiliza el LEMA3 con $TEX: $x=\dfrac{1}{10}$$ lo que prueba lo pedido. -------------------- Pablo García-\|Estudiante de Licenciatura en matemáticas de la Pontificia Universidad Catolica de chile. Ramnujan series: $TEX: $\displaystyle\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4396^{4k}}$$ "He looks all over the genius he was."-Hardy

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 20 2007, 10:42 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	Muy bien, correcto. Ahi tienen los que decian "Pasten postea puras leseras imposibles"!!! Los demas desafios que postee tambien son faciles, asi que pierdanle el miedo y respondan Ahora la pregunta... Hay algun motivo mas profundo por el cual el lado derecho de la identidad es tan "especial"??? En todo caso esta bien la respuesta. Saludos -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

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