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Staff FMAT

Área achurada, ¿Cómo calcular el área achurada?

Opciones

Jotamigmont Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2023, 09:58 AM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 5-September 23 Miembro Nº: 168.738	Ayuda porfa! En la figura hay un cuadrado de lado a, al interior un triángulo equilátero y un semicírculo. La duda es como calcular el área achurada. Mensaje modificado por Jotamigmont el Sep 6 2023, 10:01 AM

JCA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2023, 03:16 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 261 Registrado: 19-August 12 Miembro Nº: 110.146 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	no vi tu intento. me da: $TEX: \large $(\frac{\pi}{6} - \arcsin(1-\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot $$ $TEX: \Large $ \frac{a^{2}}{4} $$ $TEX: \large $ -\sin(\frac{\pi}{6} - \arcsin(1-\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot $$ $TEX: \Large $ \frac{a}{2} $$ $TEX: \large $ \cdot (a-\frac{\sqrt{3}}{2}a)$$

sergio 77 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2023, 05:33 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 408 Registrado: 18-January 11 Desde: soy del colegio san viator de macul no de ovalle. Miembro Nº: 83.168 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />En la figura, sea $x=\overline{DG}$. Notar que $\angle FDG=60^{\circ}$. Luego, $\overline{FG}=x\sqrt{3}$. Ahora, $\overline{CF}=a-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ y $\overline{CD}=a/2$. Así, por pitagoras en el $\triangle CDG$, se tiene que<br /> \begin{align}<br /> &x^{2}+\left(a\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+x\sqrt{3}\right)^{2}=\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}\\<br /> &\Leftrightarrow x^{2}+a^{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+3x^{2}+2ax\sqrt{3}\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{a^{2}}{4}\\<br /> &\Leftrightarrow x^{2}+a^{2}-\sqrt{3}a^{2}+\dfrac{3}{4}a^{2}+3x^{2}+ax(2\sqrt{3}-3)=\dfrac{a^{2}}{4}\\<br /> &\Leftrightarrow 4x^{2}+a(2\sqrt{3}-3)x+\left(\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}\right)a^{2}=0.<br /> \end{align}<br />Como $x>0$, entonces<br /> \begin{align}<br /> x&=\dfrac{-a(2\sqrt{3}-3)+\sqrt{a^{2}(2\sqrt{3}-3)^{2}-4\cdot 4\cdot \dfrac{(3-2\sqrt{3})}{2}a^{2}}}{8}\\<br /> &=\dfrac{-a(2\sqrt{3}-3)+\sqrt{a^{2}(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}-3+8)}}{8}\\<br /> &=\dfrac{-a(2\sqrt{3}-3)+\sqrt{a^{2}(4\sqrt{3}-3)}}{8}\\<br /> &=\dfrac{(\sqrt{4\sqrt{3}-3}-2\sqrt{3}+3)a}{8}\approx 0,1897 a.<br /> \end{align}<br />Por otro lado, notemos que $\angle CFD=150^{\circ}$. Luego, por el teorema del seno, <br /> \begin{align}<br /> \dfrac{\sin(\alpha)}{\overline{CF}}=\dfrac{\sin(150^{\circ})}{\overline{CD}}\Rightarrow \sin(\alpha)=a\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \dfrac{1/2}{a/2} = 1-\sqrt{3}/2.<br /> \end{align}<br />Por lo tanto, $\alpha=\sin^{-1}(1-\sqrt{3}/2)\approx 7,699^{\circ}$ y por ende $\beta= 30-\alpha\approx 22,3^{\circ}$ o bien $\beta\approx0,124\pi$. Así, el área pedida es <br /> \begin{align}<br /> S=\text{área sector circular } CDE - \text{área roja}<br /> \end{align}<br /> Es decir, $S=\dfrac{2\beta}{2}\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}-\overline{CF}\cdot x \approx\dfrac{0,124\pi a^{2}}{4}-0,1897\left(1-\sqrt{3}/2\right)a^{2}\approx 0,07197 a^{2}$.<br />$ Archivo(s) Adjunto(s) img1.PNG ( 108.02k ) Número de descargas: 4 -------------------- Tercer lugar Olimpiadas del Conocimiento Usach 2011 - Matemáticas

Jotamigmont Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2023, 10:40 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 5-September 23 Miembro Nº: 168.738	CITA(JCA @ Sep 7 2023, 03:16 PM) no vi tu intento. me da: $TEX: \large $(\frac{\pi}{6} - \arcsin(1-\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot $$ $TEX: \Large $ \frac{a^{2}}{4} $$ $TEX: \large $ -\sin(\frac{\pi}{6} - \arcsin(1-\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot $$ $TEX: \Large $ \frac{a}{2} $$ $TEX: \large $ \cdot (a-\frac{\sqrt{3}}{2}a)$$ Si, muchas gracias, tengo varios intentos pero andaba perdido, saludos.

Jotamigmont Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2023, 10:42 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 5-September 23 Miembro Nº: 168.738	CITA(sergio 77 @ Sep 7 2023, 05:33 PM) $TEX: <br />En la figura, sea $x=\overline{DG}$. Notar que $\angle FDG=60^{\circ}$. Luego, $\overline{FG}=x\sqrt{3}$. Ahora, $\overline{CF}=a-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ y $\overline{CD}=a/2$. Así, por pitagoras en el $\triangle CDG$, se tiene que<br /> \begin{align}<br /> &x^{2}+\left(a\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+x\sqrt{3}\right)^{2}=\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}\\<br /> &\Leftrightarrow x^{2}+a^{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+3x^{2}+2ax\sqrt{3}\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{a^{2}}{4}\\<br /> &\Leftrightarrow x^{2}+a^{2}-\sqrt{3}a^{2}+\dfrac{3}{4}a^{2}+3x^{2}+ax(2\sqrt{3}-3)=\dfrac{a^{2}}{4}\\<br /> &\Leftrightarrow 4x^{2}+a(2\sqrt{3}-3)x+\left(\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}\right)a^{2}=0.<br /> \end{align}<br />Como $x>0$, entonces<br /> \begin{align}<br /> x&=\dfrac{-a(2\sqrt{3}-3)+\sqrt{a^{2}(2\sqrt{3}-3)^{2}-4\cdot 4\cdot \dfrac{(3-2\sqrt{3})}{2}a^{2}}}{8}\\<br /> &=\dfrac{-a(2\sqrt{3}-3)+\sqrt{a^{2}(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}-3+8)}}{8}\\<br /> &=\dfrac{-a(2\sqrt{3}-3)+\sqrt{a^{2}(4\sqrt{3}-3)}}{8}\\<br /> &=\dfrac{(\sqrt{4\sqrt{3}-3}-2\sqrt{3}+3)a}{8}\approx 0,1897 a.<br /> \end{align}<br />Por otro lado, notemos que $\angle CFD=150^{\circ}$. Luego, por el teorema del seno, <br /> \begin{align}<br /> \dfrac{\sin(\alpha)}{\overline{CF}}=\dfrac{\sin(150^{\circ})}{\overline{CD}}\Rightarrow \sin(\alpha)=a\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \dfrac{1/2}{a/2} = 1-\sqrt{3}/2.<br /> \end{align}<br />Por lo tanto, $\alpha=\sin^{-1}(1-\sqrt{3}/2)\approx 7,699^{\circ}$ y por ende $\beta= 30-\alpha\approx 22,3^{\circ}$ o bien $\beta\approx0,124\pi$. Así, el área pedida es <br /> \begin{align}<br /> S=\text{área sector circular } CDE - \text{área roja}<br /> \end{align}<br /> Es decir, $S=\dfrac{2\beta}{2}\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}-\overline{CF}\cdot x \approx\dfrac{0,124\pi a^{2}}{4}-0,1897\left(1-\sqrt{3}/2\right)a^{2}\approx 0,07197 a^{2}$.<br />$ Muchas gracias, filete la solución, solo el lado CF no logro deducirlo, saludos!!!

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