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¿Qué es FMAT?

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Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2023, 12:30 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $z \in \mathbb{C}$$ tal que $TEX: $\displaystyle \left\| z + \frac{1}{z} \right\|=1$$ . Calcule $TEX: $\max \|z\|$$ Se espera más de una solución

sergio 77 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2023, 06:31 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 408 Registrado: 18-January 11 Desde: soy del colegio san viator de macul no de ovalle. Miembro Nº: 83.168 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Denotemos $z=x+iy$. Notemos que la condición es equivalente a $\|z^{2}+1\|^{2}=\|z\|^{2}$. Ahora, $1+z^{2}=x^{2}+2ixy-y^2+1$. Luego, $\|1+z^{2}\|^{2}=(x^{2}-y^{2}+1)^{2}+(2xy)^{2}=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x^{2}-2y^{2}+1$ y por lo tanto la condición queda como $g(x,y):=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+x^{2}-3y^{2}+1=0$. Así, necesitamos maximizar $f(x,y):=x^{2}+y^{2}$ sujeto a $g(x,y)=0$. Para ello, usamos los multiplicadores de Lagrange y resolvemos el siguiente sistema para $(x,y,\lambda)$:<br /> \begin{align}<br /> \begin{cases}<br /> \nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\\g(x,y)=0<br /> \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}<br /> 2x=\lambda (4x^{3}+4xy^{2}+2x)\\<br /> 2y=\lambda (4y^{3}+4x^{2}y-6y)\\g(x,y)=0<br /> \end{cases}<br /> \end{align}<br /> Si $x\neq 0$ e $y\neq 0$, entonces las primeras dos ecuaciones quedan como <br /> \begin{align}<br /> \begin{cases}<br /> 1=\lambda(2x^{2}+2y^{2}+2)\\<br /> 1=\lambda (2y^{2}+2x^{2}-6)<br /> \end{cases}<br /> \end{align}<br /> De donde $8\lambda=0$, por lo que $\lambda=0$, lo que contradice el sistema anterior. Luego, $x=0$ o $y=0$. Si $y=0$, entonces de la ecuación $g(x,y)=0$, se tiene que $x^{4}+x^{2}+1=0$, que es una contradicción. Por lo tanto, $x=0$. De la ecuación $g(x,y)=0$, se obtiene que $y^{4}-3y^{2}+1=0$. De donde $y^{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$. De esta forma, el máximo pedido es $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\|y\|=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$.<br />$ -------------------- Tercer lugar Olimpiadas del Conocimiento Usach 2011 - Matemáticas

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 3 2023, 02:32 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Es correcto Yo tengo 2 soluciones más, una usando polares, y otra usando desigualdades

2.718281828 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 3 2023, 06:36 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.875 Registrado: 27-December 07 Desde: ∂Ω©ȹʕѺϧگἐᾋ1©Ӹ█₯►☻X TH.....I FORGOR Miembro Nº: 14.122 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aqui una solución usando mas variable compleja. $TEX: Lema 1:\\<br /><br />Sean $z,w \in \mathbb{C}$ entonces $\|z+w\|^2=\|z\|^2+\|w\|^2+2\textrm{Re}(z\overline{w})$.\\<br /><br />Demostración: Trivial usando $\|z\|^2=z\overline{z}$<br /><br />Lema 2:\\<br /><br />Sea $z \in \mathbb{C}$, entonces $\textrm{Re}(z^2)=2\textrm{Re}(z)^2-\|z\|^2$.\\<br /><br />Demostración: Se puede usar trigonometria pero eso es de C O L I P A T O (es bromita no me funen). Lo haremos sin siquiera mencionar trigonometría (yayayaya ok, es evidente la relacion con el coseno del doble del ángulo pero dejenme hacerlo lo mas variable compleja posible po oeeeeeeee). Notemos que $\textrm{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}$, luego<br />$$\textrm{Re}(z^2)=\dfrac{z^2+\overline{z}^2}{2}=\dfrac{(z+\overline{z})^2-2z\overline{z}}{2}=2\textrm{Re}(z)^2-\|z\|^2$$<br /><br />Solución del ejercicio (Como diria JAV: con F R A C C I O N A R I O S,,, y ,,,, lapiz,,,, y papel, sin tener cononocimientos,,, de variable,,,, compleja,,, )<br /><br />Notemos que $$\|z+1/z\|^2=\|z\|^2+\frac{1}{\|z\|^2}+2\textrm{Re}(\dfrac{z^2}{\|z\|^2})$$<br />Definamos $w=z/\|z\|$ como el numero complejo unitario que representa la ''dirección'' de la variable compleja $z$ <br />Entonces<br />$$\|z+1/z\|^2=\|z\|^2+\frac{1}{\|z\|^2}+2\textrm{Re}(w^2)=\|z\|^2+\frac{1}{\|z\|^2}+4\textrm{Re}(w)^2-2\|w\|^2$$$$=\|z\|^2+\frac{1}{\|z\|^2}+4\textrm{Re}(w)^2-2=(z-\frac{1}{\|z\|})^2+4\textrm{Re}(w)^2$$<br />Ahora, como $\|z+1/z\|=1$, tenemos que $(\|z\|-\dfrac{1}{\|z\|})^2+4\textrm{Re}(w)^2=1$, del cual concluimos que $\|\textrm{Re}\|\leq 1/2$ (esto, es, el ángulo de $z$ varia entre $\pi/3$ y $2\pi/3$, y además $-2\pi/3$ y $-\pi/3$) para que la relación tenga sentido, y por lo tanto <br />$$(\|z\|-\dfrac{1}{\|z\|})^2=1-4\textrm{Re}(w)^2\leq 1$$, <br />$ $TEX: El máximo ocurre si $\textrm{Re}(w)=0$, es decir, si $z=\pm yi,y>0$ y de esta forma $\|z\|=y$, de modo que la ecuación se reduce a:<br />$$(y-1/y)^2=1$$<br />El cual es cláramente resuelta en los puntos $y=\phi,1/\phi$ siendo $\phi$ el numerito de oro $\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$, donde el máximo es en $y=\phi$. De esta manera $\max \|z\|$ en ese conjunto, es $\phi$$ PD: Este sistema de látex que tiene FMAT me es molesto, perdón que se los diga. 18 años y la mayoría usa mathjax para escribir ecuaciones. Era razonable al principio, pero ahora me costó escribir un [tex] [\ tex] porque se bugea y se corta y aparte tuve que editar. Mensaje modificado por 2.718281828 el Mar 3 2023, 06:53 PM -------------------- Claudio Henriquez Tapia Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024. [indent] everywhere at the end of FMAT ｆｍａｔ　ｎｅｅｄｓ　.... To Survive... 3ch03s facts: a nearest integer: $TEX: $e^{\pi}-\pi=19.999099979$$ Ecuacion funcional no simetrica de la funcion zeta de riemann: $TEX: $$\zeta (1-s)=2^{1-s}\pi^s \cos (\pi s/2) \Gamma(s) \zeta(s)$$$ acid number as a pitagoric trio: $TEX: $45904^2+303^2=45905^2$$ lost: $TEX: 4 8 15 16 23 42$ Teorema del colo colo: $TEX: axioma del colo: $\forall \lambda>1$ $\forall \mu>0$, se tiene que: $$\inf(colo)^{-\mu}>\sup(U)^{\lambda}$$ y es invariante ante derrotas.$ Una interesante distribucion (en ingles y en progreso): ver aqui y aqui Como hallar a lacie resolviendo esta ecuacion: $TEX: $$\ln \left(\frac{x}{acl}\right)=1+\frac 12 i \pi$$<br />aplicando exponencial:<br />$$\frac{x}{acl}=e^{1+\frac 12 i \pi}$$<br />$$\frac{x}{acl}=e\times e^{\frac 12 i \pi}$$<br />y como $e^{\frac 12 i \pi}=\cos(\frac \pi 2)+i\sin(\frac \pi 2)=i$<br />y en consecuencia:<br />$$\frac{x}{acl}=ei$$<br />$$x=acl \times ei$$<br />finalmente:<br />$$x=lacie$$<br />$$=$$$ Frases para el bronce by 3ch03s: uno de los mejores mensajes de fmat, de parte de un loco pasado a dubstep (respondiendole a pasten): CITA(skrillex @ Jul 9 2012, 10:41 PM) nunca e dicho que me gusta vagar :o que * te pasa no fumo ni tomo tienes super esteriotipada la pobresa no por que sea de no tantos recursos me voy a drogar :´C me hiere tu comentario creí que aquí habría gente con mente abierta no como tu ** burgués ojala quemen tu casa y se violen a tu familia y en otro mundo de tantos esta pasando :D saludos fraternos y en otro mundo eres travestí y te vendí en la calle abrazos :D Kaissa se autodeclara un "ICM lover" (es en buena) meanwhile in "ayuda para un primo mio" (seccion consultas generales): CITA(KaICMssa @ Dec 30 2012, 09:55 AM) En la UdeC se llama "optimización no lineal" creo y es un curso de Ing Mat (puaj) Este "aporte" lo dejo porque puede haber algún estudiante de dicha carrera (puaj...) que desconozca el curso con ese nombre. Posteriormente pregunte a que se debe el Puaj, y me dijo que se referia a ICM, entonces en un post de agradecimiento a todos (pq igual no me acordaba mucho de la materia y tuve que rebobinar my cerebro) dije que seria odiado por kaissa pq saldria de Ingeniero Civil Matematico. entonces.... CITA(KaICMssa @ Jan 1 2013, 12:25 PM) faltó el "puajjj!" (es importante!) fin. Pasten, idolo: CITA(Pasten @ Jan 31 2013, 07:46 PM) Yo persigo fama, mujeres, dinero y poder, por eso me meti a estudiar matematica. trolleo terafail. sobre las temperaturas bajo 0K (aunq originalmente en el manga camus si se veia ultragay, con el pelo rosado y las uñas pintadas webbona!) CITA(Pedro Gaete @ Feb 11 2013, 09:20 PM) El primer indicio de que se podía bajar la temperatura bajo el cero absoluto fue cuando pelearon en las 12 casas los maracos de Hyoga y Camus. don coqui se hace el chistoso. CITA(coquitao @ Mar 24 2012, 10:36 PM) Tal como se lee en el encabezado, el objetivo de este tema es proponer una lista de problemitas para celebrar el post 1500 de coquitao. Algunas de las preguntas se han retomado de discusiones sin respuesta en fmat.cl y algunas otras de Condorito y revistas similares. Se ha intentado darle variedad a las preguntas para que no haya pretexto de no abordarlas sino hasta el 2015. Saludos. Kaissa, da ICM lover strikes back: Haters gonna hate. CITA(KaICMssa @ Feb 18 2013, 09:11 PM) ¿Qué hace hoy un matemático? - ver HD. - disfrutar de las vacaciones. - sobarse las manos pensando en cuánto hará sufrir a sus futuros alumnos. - recibir llamadas telefónicas preguntando tonteras como "cuánto es la raíz cuadrada de 7561?" - mirar de vez en cuando el diploma para no sentirse tan mal por la horrible vida que escogió. - esperar un futuro mejor :3 Kaissa da flamin' ICM lovah is fuckin' back. (mientras tanto en un post de bienvenida) El asunto es que una usuaria pregunto acerca de como eramos los usuarios de FMAT, un par les respondieron que tenian buena voluntad siempre y cuando sea con respeto y blah blah.... la cosa es que le respondi explayandome un poco (como siempre), y en la ultima linea dije que no sabia si habian usuarios prepotentes. entonces y en modo de respuesta por la ultima linea..... Asi hablo Kaissa da ICM lovah: CITA(Kaissa da ICM lovah @ May 9 2013, 01:40 PM) Sin mencionar a los ICM puaj! Le respondi que extrañaba sus comentarios..... Kaissa RULZ Con uds. Las ironias y el sarcasmo de Pasten.!!!!! pt.1. CITA(Pasten @ Apr 13 2012, 08:24 PM) Demostracion 2: Estimado lector, si usted no cree que hay infinitos numeros primos entonces hagamos el siguiente experimento mental. Suponga que los unicos numeros primos son p1, p2, ..., pr y que no hay mas. Hagase el numero N que es el producto de todos esos primos que segun usted son solo finitos. Entonces, estimado lector, podria decirme cuales son los factores primos de N+1? seguro que no podra! pienselo un minuto y se va a dar cuenta. Este error le muestra que debe haber infinitos primos. Mori con esto: Los picapiedras ft. coquitao. CITA(coquitao aka pedro picapiedra @ Mar 8 2012, 08:38 PM) es notable pues: ¡no es por contradicción! ¡Yabadabadoo! Kaissa pesaa conmigo ajajajaj: CITA(Kaissa da ICM lovah 2014 @ Jan 1 2014, 01:30 PM) Ojalá que este año Claudio enmiende camino y se salga de la cuestión de carrera esa. (broma, obvio :) ) Creo que JAV no entiende el comercial de snickers. CITA(jefferson alexander vitola @ Mar 12 2014, 05:11 PM) .......por ultimo, dices que me calme y que me coma una chocolatina snikers, esa no me gusta tanto, prefiero la milkyway, esa es mi favorita,,,, ..... att jefferson alexander vitola :zippytecito: e=syd barrett. coquitabadabadoo goes floyd. CITA(coquitao @ May 20 2009, 07:03 PM) Presento aquí una versión aumentada de la propuesta hecha por Syd Barrett. Espero que sea del agrado de todos: - Si G es un grupo de orden pq donde p, q son números primos, p>q y q no divide a p-1, entonces G es cíclico. Nótese que el propuesto anterior proporciona una nueva solución al problema planteado por e = Syd Barrett. En efecto, mi propuesto implica que ............. tl;dr wtf abu? CITA(Abu-Khalil @ Nov 7 2009, 11:39 AM) Me referia a cambios de series con integrales, con límites, con asdfsda. Pasten, the warrior. (Plus interesante detalle despues del texto en negrita) CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 08:21 AM) Por que la gente vieja deja de postear? porque la gente nueva ya no tiene el espiritu del guerrero. Antes teniamos el espiritu del guerrero pero ahora ustedes ya no tienen el espiritu del guerrero. ...... En mis tiempos eramos bacanes, brigidos y por que no decir pulentos.** Donde estan las nuevas generaciones? wassappeando y actualizando su perfil de face. Saludos. Solo se que pasten tiene sed CITA(Pasten @ Nov 1 2015, 09:21 PM) Sólo sé que tengo sed. QQQQQUUUUEEEEEEEEEE (and he was f*cking right) ???????? CITA(C.F.Gauss @ Nov 3 2015, 03:24 PM) Sólo sé que G.B. se ha materializado en un flaite. Fmat dejame subir mas citas! TB-3030303 que es YTP-Tennis:

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2023, 01:45 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aquí otra solución más. $TEX: Sea $z=r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$$ . Obviamente \|z\|=r. Calculemos $TEX: $\|z^2+1\|$$ . $TEX: $\|z^2+1\| = \|r^2(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))+1\| = \| r^2\cos(2\theta)+1 + ir^2\sin(2\theta) \|$$ $TEX: $\|z^2+1\| = \sqrt{ (r^2\cos(2\theta)+1)^2 + (r^2\sin(2\theta))^2 } = \sqrt{r^4+2r^2\cos(2\theta)+1}$$ Ahora bien, $TEX: $\displaystyle \left\| z+\frac{1}{z}\right\| = \left\|\frac{z^2+1}{z} \right\| = \frac{\|z^2+1\|}{\|z\|} = \frac{\sqrt{r^4+2r^2\cos(2\theta)+1}}{r}$$ Entonces $TEX: $\displaystyle \left\|z+\frac{1}{z} \right\|=1 \Longrightarrow \frac{\sqrt{r^4+2r^2\cos(2\theta)+1}}{r} = 1$$ , que es equivalente a resolver $TEX: $r^4 + r^2 (2\cos(2\theta)-1)+1=0$$ Poner $TEX: $u=r^2$$ . Entonces $TEX: $u^2+(2\cos(2\theta)-1)u+1=0$$ . Luego $TEX: $\displaystyle u = \frac{1-2\cos(2\theta) \pm \sqrt{(2\cos(2\theta)-1)^2-4}}{2}$$ El máximo valor para $TEX: $u$$ se obtiene para la expresión $TEX: $\displaystyle u = \frac{1-2\cos(2\theta) + \sqrt{(2\cos(2\theta)-1)^2-4}}{2}$$ , y aplica cuando $TEX: $cos(2\theta)=-1$$ . Así, $TEX: $\displaystyle \max u = \frac{1-2(-1) + \sqrt{(2(-1)-1)^2-4}}{2} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$ . Como $TEX: $u=r^2$$ , entonces $TEX: $\displaystyle \max r = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}=\phi$$ . Y así, $TEX: $\displaystyle \max \|z\| = \max r = \phi$$

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 7 2023, 09:08 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\|z\| \leq \| z+\frac{1}{z} \|+ \frac{1}{\|z\|}=1+\frac{1}{\|z\|}$$ . Entonces $TEX: $ \|z\|^2 -\|z\|+1 \leq 0. $$ Por lo tanto, $TEX: $\|z\| \in [(1-\sqrt{5})/2,(1+\sqrt{5})/2]$$ , de donde se sigue que $TEX: $\max\|z\|=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ . --------------------

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