Te lo propongo asi no mas 11, La vuelta de un clasico Opciones

[2.718281828]

Sean X e Y dos variables aleatorias tales que tanto X como Y estan concentradas en dos valores reales. Pruebe que X e Y son independientes si y solo si son no correlacionados.

Saludos
Claudio.

[Guz]

Te refieres a que X se distribuye en {x_1, x_2} y Y en {y_1,y_2}, algo así?

[Laðeralus]

Te refieres a que X se distribuye en {x_1, x_2} y Y en {y_1,y_2}, algo así?

Me parece que si. Yo haría esto: Para ==> habría que usar la fórmula de covarianza entre X e Y, y usar el hecho que E[XY] = E[X]E[Y] (independencia) para luego demostrar que la covarianza es 0. Para <== sería casi igual. Se pone covarianza = 0 y se debe deducir que E[XY] = E[X]E[Y]

(Si es que entendí bien el problema... Estoy medio oxidado con probabilidades)

[Guz]

Pero no puede ser así, acá hay un contraejemplo:

Si X e Y son tal que P(X=1)=P(Y=1)=P(X=-1)=P(Y=-1)=1/2, implica que E(X)=E(Y)=0.
Supongamos P(X=1 & Y=1)=1/2 y P(X=-1 & Y=-1)=0.
Entonces P(XY=1)=1/2 y por ende P(XY=-1)=1/2, lo que implica que E(XY)=P(XY=1)*1+P(XY=-1)*(-1)=0=E(X)E(Y), por lo que X e Y son no correlacionadas (su coeficiente de correlación es cero).

Pero claramente X e Y son no independientes porque P(X=1 & Y=1)=1/2≠P(X=1)*P(Y=1)=1/4

[2.718281828]

Pero no puede ser así, acá hay un contraejemplo:

Si X e Y son tal que P(X=1)=P(Y=1)=P(X=-1)=P(Y=-1)=1/2, implica que E(X)=E(Y)=0.
Supongamos P(X=1 & Y=1)=1/2 y P(X=-1 & Y=-1)=0.
Entonces P(XY=1)=1/2 y por ende P(XY=-1)=1/2, lo que implica que E(XY)=P(XY=1)*1+P(XY=-1)*(-1)=0=E(X)E(Y), por lo que X e Y son no correlacionadas (su coeficiente de correlación es cero).

Pero claramente X e Y son no independientes porque P(X=1 & Y=1)=1/2≠P(X=1)*P(Y=1)=1/4

Pero aquí tienes un problema. las marginales no coinciden al usar tu probabilidad conjunta que elegiste. Por ejemplo te falta decir cuando vale P[X=1,Y=-1] y P[X=-1,Y=1]. Por ejemplo podrias poner P[X=1,Y=-1]=P[X=-1,Y=1]=1/4 pero las marginales de X e Y no coinciden con lo que tu pusiste al inicio, en efecto serian ambas con P[X=1]=[Y=1]=3/4 y la media deja de ser 0, en efecto E[X]=E[Y]=1/2, distinto de 0 y por ende la correlación deja de ser 0, si no -1/4. La conjunta debe ser consistente con las marginales que elegiste.

En este problema las marginales no son muy importante. Las probabilidades conjuntas si. Como hint. Si X esta concentrado en dos valores a y b: ¿que podríamos decir de X-a?. de (X-a)(X-b)?. Podrían sin perdida de generalidad suponer que tanto X como Y estan concetrados en 0 y 1. (Recuerden que se pueden relacionar probabilidades con esperanzas)

[Guz]

Tienes razón, demonios.

Tomemos entonces X e Y distribuidas en 0 y 1 con P(X=1)=EX=p y P(Y=1)=EY=q. Entonces P(X=1,Y=1)=P(XY=1)=E(XY)=EX*EY (por hipótesis) =pq= P(X=1)*P(Y=1)

Por otra parte, marginales dan
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=P(Y=1) -> P(X=0,Y=1)=q-pq=P(Y=1)(1-P(X=1))=P(Y=1)*P(X=0)
P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=P(X=1) -> P(X=1,Y=0)=p-pq=P(X=1)(1-P(Y=1))=P(X=1)*P(Y=0)
y finalmente:
P(X=0,Y=0) = 1-pq-q(1-p)-p(1-q) = 1-p-q+pq=(1-p)*(1-q)=P(X=0)*P(Y=0)

Con lo que X e Y son independientes. La recíproca (independencia -> corr=0) es válida en general.