Pentágono Opciones

[naruto2]

Sea ABCDE un pentagono ciclico tal que la tangente por C al circuncirculo de ABCDE y las rectas BD y AE sean concurrentes. Sean M y N los puntos medios de BC y CD, respectivamente y P , Q las intersecciones de los circuncirculos de los triangulos AND y BME. Probar que PQ biseca al segmento BD.

Mensaje modificado por naruto2 el Dec 24 2022, 10:45 PM

[Guz]

Acá está mi solución . Me costó bastante, y creo que quedó bastante engorrosa. Me gustaría ver otra solución, a ver cómo podría hacerse de manera más sencilla.

Demostré un resultado más general, vale decir, en vez de la tangente en C usé una secante general. Y en vez de M y N cortar por la mitad los segmentos respectivos, demostré el resultado para M y N dividiendo BC y CD en una razón λ cualquiera.

Una propiedad que usé mucho para resolver el problema es que el circunradio R viene dado por AB/2sen(gamma) donde gamma subtiende la cuerda AB. Esta propiedad implica, por ejemplo, que las longitudes de dos cuerdas que subtienden el mismo ángulo en dos circulos están en la misma razón que los radios respectivos.

Acá está el link para un pdf donde está la solución. Me dio flojera copiar todo al latex del foro, que además no se ve muy bien la verdad.
https://www.mediafire.com/file/ykaeglyg5c04...5665_a.pdf/file

[naruto2]

Al fin me decidí a leer tu solución, no en detalle pero entiendo muy bien el punto. La respuesta tiene un plus: la generalización y eso casi siempre exige un poco mas. Hasta el próximo problema!

[Guz]

Ah, pero tú no tienes una solución? Tiene que haber una manera más simple de hacer esto.

[naruto2]

Ah, pero tú no tienes una solución? Tiene que haber una manera más simple de hacer esto.

Tendria que buscar entre los anotadores(*) pero seguro que asi no fue y creo que use perpendiculares y simetrales o algo asi.
Tampoco me parecio muy larga la explicacion.

(*) o sea un caos de papeles, en realidad.

Mensaje modificado por naruto2 el Jan 12 2023, 01:59 PM