La integral de muy alta oscilación

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La integral de muy alta oscilación, veamosla

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Guz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 31 2022, 07:48 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 97 Registrado: 8-July 21 Desde: Chile Miembro Nº: 167.167	Me pareció interesante comentar aquella integral propuesta por JAV. Creo que vale la pena analizarla si no sólo para quizás recordar temas de matemáticas "antiguas" que, dependiendo de la formación que uno tenga, a veces no tiene la oportunidad de disfrutar. En particular, mi referencia general es "Asymptotic Expansions" de E.T. Copson (1965), especialmente el capítulo 3 "Integration by parts". La integral propuesta es $TEX: $\int_2^\infty \sin(e^{x^4})dx$$ . Definamos $TEX: $G(x,\beta,k)=\int_x^\infty e^{i e^{z}} z^{-\beta} e^{-k z}dz$$ . Notar que la integral propuesta es la parte imaginaria de $TEX: \begin{equation}<br />I=\int_2^\infty e^{i e^{x^4}} dx = \int_{2^4}^\infty e^{i e^{s}}\frac{s^{-3/4}}{4}ds=\frac{1}{4}G(16,3/4,0)<br />\end{equation}<br />$ Por otra parte, integrando por partes tenemos que: $TEX: \begin{align}<br />G(x,\beta,k) &=\int_x^\infty e^{i e^{z}} z^{-\beta} e^{-k z}dz\\<br />&= \int_x^\infty \underbrace{-i e^{-(k+1) z} z^{-\beta}}_{u} \underbrace{i e^{z} e^{i e^{z}}dz}_{dv}\\<br />& du =i e^{-(k+1) z} z^{-\beta -1} (\beta +(k+1) z) dz ;\qquad v= e^{i e^{z}}\\<br />&= \left. e^{i e^{z}} (-i e^{-(k+1) z} z^{-\beta}) \right\rvert_x^{\infty} - \int_x^\infty e^{i e^{z}} i e^{-(k+1) z} z^{-\beta -1} (\beta +(k+1) z) dz \\<br />&= i e^{i e^{x}} e^{-(k+1) x} x^{-\beta} - i \beta \int_x^\infty e^{i e^{z}} e^{-(k+1) z} z^{-\beta -1}dz - i(k+1)\int_x^\infty e^{i e^{z}} e^{-(k+1) z} z^{-\beta} dz\\<br />&= i e^{i e^{x}} e^{-(k+1) x} x^{-\beta} - i \beta \,G(x,\beta+1,k+1) - i (k+1)\,G(x,\beta,k+1)\\<br />\end{align}<br />$ Además, notar que $TEX: $$ \|G(x,\beta,k)\|\le \int_x^\infty z^{-\beta} e^{-k z}dz =k^{\beta-1} \Gamma(1-\beta,kx)$$$ . Esta cota no es muy buena pues no aprovecha que la función oscila de ninguna manera. Finalmente, aplicamos es análisis anterior a la integral $TEX: $I$$ : $TEX: <br />\begin{equation}<br />I=\frac{1}{4}G(16,3/4,0) = \frac{1}{32} i e^{-16+i e^{16}} - \frac{1}{4} i G\left(16,\frac{3}{4},1\right)-\frac{3}{16} iG\left(16,\frac{7}{4},1\right)<br />\end{equation}<br />$ La parte imaginaria del primer término es $TEX: $\frac{\cos \left(e^{16}\right)}{32 e^{16}}\approx -3.01795\times10^{-9}$$ , por lo que el método promete. Lo malo es que la cota más arriba aplicada al resto de los términos da una corrección del mismo orden de magnitud (1E-9). Pero podemos seguir expandiendo y usando la recursión: $TEX: \begin{align}<br />I&=\frac{1}{4}G(16,3/4,0) \\<br />&= \frac{1}{32} i e^{-16+i e^{16}}+\frac{67 e^{-32+i<br /> e^{16}}}{2048} -\frac{1}{2} G\left(16,\frac{3}{4},2\right)-\frac{9}{16}<br /> G\left(16,\frac{7}{4},2\right)-\frac{21}{64}<br /> G\left(16,\frac{11}{4},2\right)\\<br />\end{align}$ La parte imaginaria de los primeros términos (que no depended de G) es $TEX: $\frac{67 \sin \left(e^{16}\right)}{2048 e^{32}}+\frac{\cos \left(e^{16}\right)}{32<br /> e^{16}}\approx -3.017952449871\times10^{-9}$$ . Por otra parte, el resto de los términos: $TEX: $-(1/2) G(16, 3/4, 2) - 9/16 G(16, 7/4, 2) - 21/64 G(16, 11/4, 2)$$ se pueden acotar usando el resultado más arriba con $TEX: $\frac{21 \Gamma \left(-\frac{7}{4},32\right)}{16 \sqrt[4]{2}}+\frac{9 \Gamma<br /> \left(-\frac{3}{4},32\right)}{8 \sqrt[4]{2}}+\frac{\Gamma<br /> \left(\frac{1}{4},32\right)}{2 \sqrt[4]{2}}\approx 4\times10^{-16}$$ La iteración se puede aplicar cuantas veces sea necesario para obtener más decimales. Aplicando una vez más, se obtiene una aproximación $TEX: $\frac{67 \sin \left(e^{16}\right)}{2048 e^{32}}-\frac{8789 \cos<br /> \left(e^{16}\right)}{131072 e^{48}}+\frac{\cos \left(e^{16}\right)}{32 e^{16}}$$ que corresponde ya a todos los decimales propuestos por JAV. En mi opinión, creo que el resultado de JAV es correcto. Mensaje modificado por Guz el Oct 31 2022, 09:27 PM

Guz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 1 2022, 12:40 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 97 Registrado: 8-July 21 Desde: Chile Miembro Nº: 167.167	Si bueno, es solo para intercalar un poco de discusión matemática "de verdad". Leer jugos pasados es entrete pero también echaba de menos hacer un posteo con un poco más de enjundia, sobre todo entre gente que sé que le gustan las matemáticas como a mí. De cualquier manera, no me molesta nada; como parecía molestarle a otros usuarios que se enojaban mucho si hablaban o se desviaban de cualquier manera de algo que no fueran matemáticas. Ciertamente la integral, es su forma original, pienso que es inmanejable para cualquier programa de integración numérica. El método que describo arriba tiene el cambio de variable z=x^4 (porque la sustitución z=exp(x^4) me pareció más engorrosa). Seguro que Jeff usó algún tipo de sustitución u operación parecida para obtener su resultado. El punto rescatable que ilustra la integral de JAV es que los softwares no pueden aplicarse así nomás y confiar a ciegas en sus resultados.

Guz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 2 2022, 05:54 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 97 Registrado: 8-July 21 Desde: Chile Miembro Nº: 167.167	Había dicho arriba que la cota en $TEX: $G(x,\beta,k)$$ no era buena. Una mejor es $TEX: $\|G(x,\beta,k)\|\le (1+\frac{\beta}{k+1})\exp(-x(k+1))$$ (para beta y k positivos). Con esta expresión, el error en la segunda iteración está acotado por $TEX: $\sim 10^{-21}$$ , mucho mejor que la cota original de $TEX: $\sim 10^{-16}$$ . Es decir, las aproximaciones dadas entregan aún más decimales correctos respecto a los originalmente posteados.

jefferson alexan... jefferson alexander vitola Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2023, 01:15 AM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 16-May 13 Miembro Nº: 118.786 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Guz @ Oct 31 2022, 06:48 PM) Me pareció interesante comentar aquella integral propuesta por JAV. Creo que vale la pena analizarla si no sólo para quizás recordar temas de matemáticas "antiguas" que, dependiendo de la formación que uno tenga, a veces no tiene la oportunidad de disfrutar. En particular, mi referencia general es "Asymptotic Expansions" de E.T. Copson (1965), especialmente el capítulo 3 "Integration by parts". La integral propuesta es $TEX: $\int_2^\infty \sin(e^{x^4})dx$$ . Definamos $TEX: $G(x,\beta,k)=\int_x^\infty e^{i e^{z}} z^{-\beta} e^{-k z}dz$$ . Notar que la integral propuesta es la parte imaginaria de $TEX: \begin{equation}<br />I=\int_2^\infty e^{i e^{x^4}} dx = \int_{2^4}^\infty e^{i e^{s}}\frac{s^{-3/4}}{4}ds=\frac{1}{4}G(16,3/4,0)<br />\end{equation}<br />$ Por otra parte, integrando por partes tenemos que: $TEX: \begin{align}<br />G(x,\beta,k) &=\int_x^\infty e^{i e^{z}} z^{-\beta} e^{-k z}dz\\<br />&= \int_x^\infty \underbrace{-i e^{-(k+1) z} z^{-\beta}}_{u} \underbrace{i e^{z} e^{i e^{z}}dz}_{dv}\\<br />& du =i e^{-(k+1) z} z^{-\beta -1} (\beta +(k+1) z) dz ;\qquad v= e^{i e^{z}}\\<br />&= \left. e^{i e^{z}} (-i e^{-(k+1) z} z^{-\beta}) \right\rvert_x^{\infty} - \int_x^\infty e^{i e^{z}} i e^{-(k+1) z} z^{-\beta -1} (\beta +(k+1) z) dz \\<br />&= i e^{i e^{x}} e^{-(k+1) x} x^{-\beta} - i \beta \int_x^\infty e^{i e^{z}} e^{-(k+1) z} z^{-\beta -1}dz - i(k+1)\int_x^\infty e^{i e^{z}} e^{-(k+1) z} z^{-\beta} dz\\<br />&= i e^{i e^{x}} e^{-(k+1) x} x^{-\beta} - i \beta \,G(x,\beta+1,k+1) - i (k+1)\,G(x,\beta,k+1)\\<br />\end{align}<br />$ Además, notar que $TEX: $$ \|G(x,\beta,k)\|\le \int_x^\infty z^{-\beta} e^{-k z}dz =k^{\beta-1} \Gamma(1-\beta,kx)$$$ . Esta cota no es muy buena pues no aprovecha que la función oscila de ninguna manera. Finalmente, aplicamos es análisis anterior a la integral $TEX: $I$$ : $TEX: <br />\begin{equation}<br />I=\frac{1}{4}G(16,3/4,0) = \frac{1}{32} i e^{-16+i e^{16}} - \frac{1}{4} i G\left(16,\frac{3}{4},1\right)-\frac{3}{16} iG\left(16,\frac{7}{4},1\right)<br />\end{equation}<br />$ La parte imaginaria del primer término es $TEX: $\frac{\cos \left(e^{16}\right)}{32 e^{16}}\approx -3.01795\times10^{-9}$$ , por lo que el método promete. Lo malo es que la cota más arriba aplicada al resto de los términos da una corrección del mismo orden de magnitud (1E-9). Pero podemos seguir expandiendo y usando la recursión: $TEX: \begin{align}<br />I&=\frac{1}{4}G(16,3/4,0) \\<br />&= \frac{1}{32} i e^{-16+i e^{16}}+\frac{67 e^{-32+i<br /> e^{16}}}{2048} -\frac{1}{2} G\left(16,\frac{3}{4},2\right)-\frac{9}{16}<br /> G\left(16,\frac{7}{4},2\right)-\frac{21}{64}<br /> G\left(16,\frac{11}{4},2\right)\\<br />\end{align}$ La parte imaginaria de los primeros términos (que no depended de G) es $TEX: $\frac{67 \sin \left(e^{16}\right)}{2048 e^{32}}+\frac{\cos \left(e^{16}\right)}{32<br /> e^{16}}\approx -3.017952449871\times10^{-9}$$ . Por otra parte, el resto de los términos: $TEX: $-(1/2) G(16, 3/4, 2) - 9/16 G(16, 7/4, 2) - 21/64 G(16, 11/4, 2)$$ se pueden acotar usando el resultado más arriba con $TEX: $\frac{21 \Gamma \left(-\frac{7}{4},32\right)}{16 \sqrt[4]{2}}+\frac{9 \Gamma<br /> \left(-\frac{3}{4},32\right)}{8 \sqrt[4]{2}}+\frac{\Gamma<br /> \left(\frac{1}{4},32\right)}{2 \sqrt[4]{2}}\approx 4\times10^{-16}$$ La iteración se puede aplicar cuantas veces sea necesario para obtener más decimales. Aplicando una vez más, se obtiene una aproximación $TEX: $\frac{67 \sin \left(e^{16}\right)}{2048 e^{32}}-\frac{8789 \cos<br /> \left(e^{16}\right)}{131072 e^{48}}+\frac{\cos \left(e^{16}\right)}{32 e^{16}}$$ que corresponde ya a todos los decimales propuestos por JAV. En mi opinión, creo que el resultado de JAV es correcto. HOLA usuario Guz,.,.,.saludos desde bogota colombia,.,,.hasta el momento despues de mas de 10 años de publicar,,, en todos los foros del mundo, usted ha sido la unica persona en tomarse el trabajo de intentar resolver esta simple integral oscilatoria,,asi que sin sarcasmo y sin ironia, por esta unica vez,, le digo,,,, gracias,,,por otro lado,,me perdi cuando usted dijo que series de expansion eintegracion por partes,,,que es una serie?? o que es expansion???,,,no se deje engañar por los usuarios de este foro,,yo ni siquiera domino calculo integral,, como dicen aqui abajo el usuario ''e'' ,,, la verdad es que yo solo trabajo decimales y fraccionarios,,,de hecho los errores en variable compleja del wolfram alpha, que yo coloque aqui en este foro y en otro foro norteamericano, fue trabajando con decimales,,,escasamente me se las tablas de multiplicar,,,asi que gracias ''e'', por decir que yo sabia calculo integral, ,(aqui la pregunta para todos ustedes es, ¿¿como yo desconociendo todos los procesos matematicos, llegue a una solucion con mejor aproximacion que la que Guz hizo???),,,solo una cosa me llamo la atencion, cuando usted dice : La parte imaginaria del primer término es $TEX: $\frac{\cos \left(e^{16}\right)}{32 e^{16}}\approx -3.01795\times10^{-9}$$ , por lo que el método promete. ,.,.,. es por que se basa en mi respuesta verdad???, por eso usted sabria que esa cota es buena, de lo contrario usted estaria perdido en la aproximacion, o me equivoco???,,,, si le planteo una integral oscilatoria nueva,en la que yo no de la solucion numerica, usted se atreveria a dar su aproximacion numerica???,.,., espero su respuesta ,,,..,voy a plantear un ejercicio de productos notables en el tema algebra , por si alguien esta interesado,.,..,,.gracias, att jefferson alexander vitola arandia

jefferson alexan... jefferson alexander vitola Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2023, 11:28 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 16-May 13 Miembro Nº: 118.786 Nacionalidad: Sexo:	CITA(2.718281828 @ Feb 11 2023, 10:00 PM) Una vez defendiste tu ignorancia de topicos de programación y computación numérica argumentando que Ramanujan (que pesimo argumento) no sabia programar. Te recuerdo que en esa epoca, casi no existia el concepto de computacion y menos el de programación y con suerte existian algoritmos para calcular cosas (punto fijo entre otros). Lo que el hizo fue pescar una serie (que el calculó) y a mano calcular, pero eso no es programar, eso es calcular. Fue en los '50 que la programación formó parte importante para la aceleración de cálculos, cosa de ver como crecian los dígitos de pi dramáticamente desde ahí. Tu dijiste que no sabes series. Ni calculo integral. Entonces como podria creerte que sacaste cuentas a mano si la unica manera de aproximar esa integral es si o si con series o con alguna cuadratura. Yo creo que estas inhalando copium a destajo. y aún así, si existiera dicho método y lo revisa un matemático, pescará esas hojas y los usara como papel pal baño. Hola youtube. No se dejen engañar por JAV. ,,la verdad es que una diosa de la india, a traves de mis sueños, me da las respuestas,.,yo solo tengo que dormir y cuando me levanto en la mañana,,, ya se las soluciones.,..,,.

Guz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 12 2023, 11:50 AM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 97 Registrado: 8-July 21 Desde: Chile Miembro Nº: 167.167	"por lo que el método promete. ,.,.,. es por que se basa en mi respuesta verdad???" Si, por supuesto. Tenía la corazonada que tenías una respuesta correcta, y la consistencia entre ambos resultados me lo confirmó. "si le planteo una integral oscilatoria nueva,en la que yo no de la solucion numerica, usted se atreveria a dar su aproximacion numerica?" Suena a desafío. Pues claro, pónele weno nomás. "por otro lado,,me perdi cuando usted dijo que series de expansion eintegracion por partes,,,que es una serie?? o que es expansion?" Bueno, si tu problema desafío es calcular una integral impropia; disculparás a quien piense que sabes de cálculo integral. Es natural.

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