¿Cómo tirar el anzuelo más lejos?, Un problema práctico 🐟 Opciones

[Guz]

Hace un par de décadas iba yo con unos amigos al lago a tirar anzuelo a ver si pescábamos algo. Como no teníamos caña, sólo el sedal enrollado en un tarro y unos cuantos anzuelos, hacíamos girar el anzuelo y lo soltábamos en el momento preciso para que saliera hacia adelante. Sin embargo, habían dos escuelas de pensamiento: la tradicional y la vanguardista.

La tradicional hace girar el anzuelo en dirección derecha según la regla de la mano derecha. Lo suelta cuando el anzuelo está "bajo" y "adelante"


y la vanguardista lo hace rotar en la dirección opuesta. Suelta el anzuelo "alto" y desde atrás:


La pregunta la dá el título del tema.

Si la mecánica les da un poco de lata, luego pongo una versión enfocándome en el sistema de EDOs solamente (sin unidades).

-------------------
Las ecuaciones de movimiento adimensionales serían:

donde es el ángulo que el anzuelo forma con la vertical desde el centro de giro, , y . Podríamos agregar que, como es un "sedal", entonces y que (para que el anzuelo no choque con el suelo). Pero para la matemática del problema no es necesario

Mensaje modificado por Guz el Feb 20 2022, 03:05 PM

[Fran.tgx]

Puedes demostrar que si tenemos la velocidad inicial fija, entonces la distancia se maximiza cuando el angulo de la trayectoria es de 45 grados con respecto a la horizontal, por tanto yo creo que lo mejor es la segunda opcion, incluso si al momento de lanzar haces un salto de forma vertical y levantas el brazo se puede maximizar aun mas la distancia

[Guz]

Suponemos que el centro de giro es el mismo para ambos casos. Tampoco hay un salto adicional.

Lo que afirmas para el ángulo de 45º es correcto sólo cuando la altura desde donde lanzas el proyectil hasta donde cae es la misma. En este caso, dependiendo de donde lances el anzuelo, la altura cambia.

[Guz]

Vamos usar notando que las manera vanguardista es equivalente a la tradicional pero lanzando el anzuelo hacia atrás. De la figura abajo, entonces, si la curva de máximo y mínimo alcance son la roja y azul, respectivamente, la pregunta respecto de cúal es la manera de lanzar el anzuelo más lejos es equivalente a comparar con .



La solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales normalizado (incluyendo condiciones iniciales) es:
.
Para cada θ la curva , t≥0 representa, en el plano x-y, la ecuación paramétrica de una parábola tangente al círculo de radio 1 centrado en (0,η).

En principio, uno podría calcular el xmax y xmin de las ecuaciones y de ahí ver cuál es mayor. Este camino, sin embargo, es algebraicamente pesado. Yo no pude resolver el problema así.

Lo que demostraremos es que la envolvente de toda la familia de trayectorias parametrizada por θ∊[0,π] (t≥0) es una parábola envolvente. Por la simetría de la parábola, con esto demostramos que xmax=|xmin| o, lo que es lo mismo, que la manera tradicional y vanguardista de tirar el anzuelo son equivalentes en este sentido. Para ello, también es importante demostrar que el máximo alcance en ambas direcciones ocurre con trayectorias que empiezan en [0,π] y no en (π,2π).

En los puntos de la(s) envolvente(s), las direcciones de las derivadas parciales de f son paralelas, lo que se traduce en:

Esta ecuación nos permite deducir la relación t=t(θ) que tiene por solución las siguientes curvas:

.
La primera ecuación nos dice simplemente que la condición inicial de todas las curvas se da en una envolvente, lo que es ciertamente así: las soluciones parten tangentes a un círculo, que sería una envolvente interna. La segunda ecuación es más interesante. Notar que sólo valores de θ∊[0,π] son compatibles con t≥0. Es más, x(t(θ)) para θ∊[0,π] recorre desde (-∞,+∞).

Reemplazando t(θ) en f(θ,t(θ)) obtenemos:

No puedo decir "claramente", pero se tiene que , es decir, la envolvente es una parábola con eje de simetría "y". Para deducir ésto se usa la relación . Entonces, para θ∊[0,π] tenemos que la envolvente de las trayectorias es una parábola completa. Concluimos, como necesariamente los puntos de máximo alcance xmax y xmin son puntos de la envolvente, que xmax=-xmin.

Dibujo de la envolvente y las trayectorias.


Mensaje modificado por Guz el Apr 19 2022, 07:31 PM