4 arcos iguales, 3 arcos iguales. Opciones

[naruto2]

Dibujemos un triangulo isosceles ABC con base BC y su circuncirculo. Sobre el arco BC que no contiene al punto A tenemos los puntos X, Y, Z, asi ordenados y que cumplen que arco(BX)=arco(XY)=arco(YZ)=arco(ZC). Ahora la recta BX y la recta AY intersectan en O. Dibujemos una circunferencia con centro O y radio OB que cortan a los segmentos AX y AZ en D y E, respectivamente. Tenemos que probar que arco(BD)=arco(DE)=arco(EC).

[Guz]

Está bueno, gracias, me costó debo estar medio oxidado. ¿Se te ocurrió a ti o lo sacaste? ¿Te inspiraste en algún otro problema?
Saludos

Sean BZ ⋂ AO = K y KX ⋂ AB = J. Sea, además 𝛼 = ∠BAX = ∠XAY = ∠YAZ = ∠ZAC. Como ∠XBZ = 2𝛼 y ∠AXB =∠ABC, entonces AX ⟂ BZ. Esto implica que AX es simetral de BK y ∆BAK y ∆BXK son isósceles. AX simetral de BK también implica que BK || JO y ∆BAK~∆JAO y AX es simetral de OJ también.
Como ∠ZBX=2𝛼 =∠BOJ=, tenemos que ∆BOJ~∆BAK y en particular BO=OJ, por lo que J está en la circunferencia centrada en O. Ergo, OJ=OD y como AX es simetral de OJ, JD=OD y ∆JOD es quilátero. Esto implica que ∠JBD=30º y por simetría respecto a AX ∠DKO=30º también. Razonando simétricamente respecto de la línea AO concluimos que ∠OKE=30º y por lo tanto ∆DKE es quilátero. Pero DB=DK=DE=KE=EC por lo que los arcos BD, DE y EC son iguales.

Mensaje modificado por Guz el Feb 9 2022, 07:21 PM

[naruto2]

Bien, y ademas mejor si te gusto. No se porque lo puse en este sector tal vez era para preolimpico. En el problema yo puse que la circunferencia de centro O cortaba al segmento AX en D dando a entender que D estaba entre A y X igual esta muy bien tu solucion y se ve si reflejamos el equilatero OJD respecto de OJ vamos a tener otro equilatero con vertice en el punto D que originalmente propone el problema, es decir que si ahora lo llamamos D' (y al otro E') tenemos <BJD'=<AOD' = beta (usando tu conclusion que AOJ es isosceles y AX su bisectriz) , pero <D'OE'=<BOD'= 2 beta, y ya.
Este creo que me salio cuando estaba viendo/resolviendo la triseccion de un angulo dado aqui el angulo que se divide en 3 no esta dado. has visto que ese problema no tiene una solucion euclidiana y siempre en algun momento hay que hacer algo "no muy bonito" para lograr trisecar el angulo.
Bueno hermano, fue un gusto, se nota que a ti tambien te apasiona la geometria.

[Guz]

Mira que interesante lo de la trisección, no me había percatado. Tienes razón, de alguna manera el dibujo sólo se puede hacer "en una dirección", no puedes partir del ángulo BOC para construir el triángulo ABC, porque de esa manera trisectarías BOC, que sabemos es imposible. !