Nueve puntos Opciones

[naruto2]

Sobre una recta tenemos los puntos A, B, C y los puntos A', B'. C'ordenados en sentido opuesto y tales
que cumplen AB/BC=A'B'/B'C'= k.
Supongamos 3 puntos mas, X, Y, Z tales que cumplen AX/A'X=BY/B'Y=CZ/C'Z k.
Probar que XY/YZ= k.
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[Guz]

Considerar A''B'' la recta paralela a AB a una distancia d>0 y sean A'', B'', y C'' las proyecciones perpendiculares de A', B' y C' sobre A''B''. Entonces, como A'B'=A''B'' y B'C'=B''C'' más la hipótesis sobre los puntos A'B'y C', concluimos que AA'', BB'', y CC'' son concurrentes en el punto de homotecia antre ABC y A''B''C''.

Sea X'' en AA'' tal que X''X ⟂ AB, Y'' en BB'' tal que Y''Y ⟂ AB, y Z'' en CC'' tal que Z''Z ⟂ AB en Z. Como X''X // Y''Y // Z''Z // AA'' // BB'' // CC'', tenemos que AX/A'X = AX''/X''A'', BY/B'Y = BY''/Y''B'', CZ/C'Z = CZ''/Z''C'', y como estas tres razones son iguales (a k' ≠ k por hipótesis), tenemos que X''Y''Z'' son colineales y forman una línea paralela con AB.

Por Tales, X''Y''/Y''Z'' = AB/BC y concluimos notando que XY=X''Y'' y YZ=Y''Z''.