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Desigualdad

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2021, 01:03 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo con baricentro $G$, se traza una recta que pasa por $G$ y corta a los lados $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que $$ \frac{PB}{PA}\cdot \frac{QC}{QA}\leq \frac{1}{4} $$$ pd: tengo la tincada que ya fue propuesto, pero de todos modos es un buen problema si no lo han hecho. -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Guz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 3 2022, 02:12 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 97 Registrado: 8-July 21 Desde: Chile Miembro Nº: 167.167	hay q estudiar y hacer problemas! Vamos a asumir que P y Q están en los segmentos AB y AC respectivamente. Sea dist(B, PQ)=d la distancia perpendicular entre la recta PQ y B, f=dist(C,PQ) y e=dist(A,PQ). Entonces d/e = PB/PA y f/e = QC/QA Usamos el resultado del problema 266 de GoGeometry () (hay q estudiar!) que indica que e=d+f. Por ende, de d²+f² ≥2df deducimos que e²=(d+f)²≥4df y por ende (d/e)(f/e)=(PB/PA).(QC/QA)≤1/4, con igualdad si y solo si d=f o si ABC es isósceles de base BC. () http://www.gogeometry.com/problem/p226_tri...cular.htm Mensaje modificado por Guz el Jan 3 2022, 02:15 PM

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