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> Propuesto "hereda condiciones del límite III"
Laðeralus
mensaje Dec 2 2021, 11:46 PM
Publicado: #1


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TEX: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\Gamma\left(\frac{1}{1}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\cdots \Gamma\left(\frac{1}{n}\right)} = \frac{1}{e}$
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mensaje Dec 6 2021, 11:13 PM
Publicado: #2


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Usaremos que TEX: $\Gamma(1+x)=x\Gamma(x)$

Luego:

TEX: $$P_n=\frac 1n \prod_{k=1}^n \Gamma(1/k)^{1/n}=\frac 1n  \prod_{k=1}^n (k\Gamma(1+1/k))^{1/n}$$
TEX: $$=\exp(\frac 1n \sum_{k=1}^n \ln k+\ln\Gamma(1+1/k)-\ln n)=\exp(\frac 1n\sum_{k=1}^n \ln(k/n)+\frac 1n \sum_{k=1}^n \ln\Gamma(1+1/k))$$
Notemos queTEX:  $$\lim_{n \to \infty}\frac 1n\sum_{k=1}^n \ln(k/n)=\int_0^1 \ln x=-1$$ y TEX: $$\lim_{n \to \infty}\frac 1n \sum_{k=1}^n \ln\Gamma(1+1/k))=0$$ pues TEX: $$\Gamma(1+1/n)\to 0$$ cuando TEX: $$n \to \infty$$.

Luego TEX: $$\lim_{n \to \infty} P_n=\exp(-1+0)=1/e$$

Saludos
Claudio.


--------------------
Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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Laðeralus
mensaje Dec 8 2021, 10:52 PM
Publicado: #3


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wena, yo hice exactamente lo mismo. Supongo que deben haber más respuestas usando propiedades locas de gamma
saludos

Mensaje modificado por Laðeralus el Dec 8 2021, 10:53 PM
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