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> Reglamento Sector de Consultas

Para un correcto uso de este foro debes leer estas reglas:

  • Este Sector es donde pueden plantear sus dudas de Nivel Universitario.
    • NO se debe usar el Banco de Problemas Resueltos para consultar.
  • Se solicita a los usuarios el uso de LaTeX, para que llevemos una conversación al nivel que este sector requiere
  • Hacer UNA CONSULTA por TEMA, ya que asi es mas facil enfocarse solo a la pregunta.
    • Si desean hacer varias preguntas, tendran que crear un tema para cada una.
    • con un limite de 5 de un mismo tema por usuario, pues lo mas probable es que se resuelvan de forma similar
  • Respecto al TITULO, tratar de ser lo mas claro posible de que trata la consulta.
    • Ejemplo de lo que no se debe hacer: "ayuda porfis" ó "Heeeeeelp!"
  • NO hacer doble posteo de una misma duda
  • El usuario que realiza la consulta debe manifestar si la respuesta dada por la Comunidad le fue o no satisfactoria.
  • NO doble postear, demuestre compromiso con su consulta.
  • Use el botón "Editar" si olvido algún detalle.
  • Si necesita ayuda urgente, exprese lo que ha intentado para resolver el problema
  • Usuario que no cumpla estas reglas, sera advertido (en el mismo post o via MP).
    • En caso que incurra nuevamente a faltar al reglamento, sera amonestado.
Staff FMAT

 
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> Taylo grado 2
perla2021
mensaje Nov 8 2021, 04:32 PM
Publicado: #1


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Laðeralus
mensaje Nov 8 2021, 10:24 PM
Publicado: #2


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CITA(perla2021 @ Nov 8 2021, 04:32 PM) *
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No hay mucha complicación. Es bastante mecánico de hecho. Considera la función TEX: $f(x,y)=\ln(x^3+y^3)$ y el punto TEX: $P=(1,1)$.
Calcula TEX: $f(1,1)$, las primeras y segundas derivadas evaluadas también en TEX: $(1,1)$.
Plantea el polinomio de taylor de orden 2 de TEX: $f$ al rededor de TEX: $P=(1,1)$. Llámalo TEX: $T(x,y)$. Reemplaza los valores y simplifica un poco.

Te va a quedar TEX: $T(x,y)$ como una función polinomial (esa es la idea) que aproxima la función TEX: $f$ cerca de TEX: $P=(1,1)$. Calcula TEX: $T=(0.09,0.09)$ y listo

Pd: Naranjo sigue hablando xd

Mensaje modificado por Laðeralus el Nov 8 2021, 10:26 PM
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mensaje Nov 9 2021, 12:17 AM
Publicado: #3


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CITA(Laðeralus @ Nov 8 2021, 09:24 PM) *
No hay mucha complicación. Es bastante mecánico de hecho. Considera la función TEX: $f(x,y)=\ln(x^3+y^3)$ y el punto TEX: $P=(1,1)$.
Calcula TEX: $f(1,1)$, las primeras y segundas derivadas evaluadas también en TEX: $(1,1)$.
Plantea el polinomio de taylor de orden 2 de TEX: $f$ al rededor de TEX: $P=(1,1)$. Llámalo TEX: $T(x,y)$. Reemplaza los valores y simplifica un poco.

Te va a quedar TEX: $T(x,y)$ como una función polinomial (esa es la idea) que aproxima la función TEX: $f$ cerca de TEX: $P=(1,1)$. Calcula TEX: $T=(0.09,0.09)$ y listo

Pd: Naranjo sigue hablando xd


hay un detalle. A veces es mejor irse por el lado univariado ya que los calculos de derivadas igual pueden ser lateros y la probabilidad de equivocarse es mayor.

Por ejemplo, como el punto es (0.09,0.99), en realidad hay que tomar como punto de referencia el valor (0,1), por lo que para evitar calculos lateros de derivadas como el x es pequeño uno puede hacer taylor dejando fijo TEX: $y^3$ y luego hacer taylor en y. Uno solo necesita polinomios de grado 2 y el logaritmo es facil de manejar en ciertos puntos

Por ejemplo, como queremos un valor de y cercano a 1 es mejor trabajar con la x primero haciendo taylor centrado.

Uno puede partir con la funcion

TEX: $$\ln(a+t)=\ln a+\frac{t}{a}+o(x)$$
eso significa que si uno toma TEX: $a=y^3$ y TEX: $t=x^3$:

TEX: $$\ln(x^3+y^3)=\ln(y^3)+\frac{x^3}{y^3}+o(x^3)=3\ln y+O(x^3)$$
Donde tenemos que uno puede despreciar los ordenes cubicos segun nos piden (solo hasta orden cuadratico)

Luego solo se reduce a encontrar una serie de taylor de TEX: $\ln y$ hasta orden 2 centrado en TEX: $y=1$. el cual es TEX: $\ln y=\ln 1+\frac{(y-1)}{1}-\frac{(y-1)^2}{2*1^2}+o((y-1)^2)=(y-1)+\frac 12(y-1)^2+o((y-1)^2)=(y-1)(1-\frac 12(y-1))=\frac{1-y^2}{2}$

luego TEX: $\ln(y^3+x^3)=\frac{1-y^2}{2}+TOI$, lo que significa el polinomio de orden 2 de taylor es TEX: $\frac{1-y^2}{2}$

Sin embargo, igual uno podrá notar que los terminos con x y x^2 se hacen 0 si lo evaluan en los puntos correspondientes si lo hace de forma tradicional.

Saludos
Claudio.


--------------------
Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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Laðeralus
mensaje Nov 9 2021, 12:29 AM
Publicado: #4


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No creo que le hayan pasado landau (muy útil!)
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Laðeralus
mensaje Nov 9 2021, 12:30 AM
Publicado: #5


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perla2021
mensaje Nov 10 2021, 04:10 PM
Publicado: #6


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Gracias amigos se pasaron...
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