Recta y parábola pícaras, No es tan fácil Opciones

[Laðeralus]

[2.718281828]

Sugiero al lector que no lea el spoiler si lo quiere hacer. Mas bien, si tiene ganas de resolverlo, cuando lo tenga resuelto, lo puede comparar con el mío.

Solo recordar que dos puntos P y Q son simétricos con respecto a una recta L si la linea que une P y Q es perpendicular a L y están a igual distancia de la recta. Dicho de otro modo es como una reflexión de un espejo, o en la jerga PSU, una simetría axial. Dejo al lector que verifique que el punto medio del segmento PQ es la intersección con la recta L.

Dicho esto:

Lo haré para el caso general, dejando los detalles para el lector. Considere la recta L:x-y=q, con q>0, sean P y Q puntos en la parábola C. llamémosle . Por hipótesis del problema, son simétricos a la recta L: x-y-q=0. y por lo tanto pertenecen a una recta perpendicular a L (llamémosle L'), el cual tiene la forma y=x+b (dejo al lector verificar el por qué)

De aquí se desprenden varias cosas:
1) El punto de intersección de L y L' es (Verificar)
2) Ya que P y Q son simétricos, dicha recta L' es tal que
3) P y Q además pertenecen a L' y C, desprendiéndose de que los pares , son soluciones de las ecuaciones cuadráticas:

Respectivamente.
Aquí ud. dira: Hay que resolverlo. Pero no es necesario, solo basta notar que por propiedades de raices:

y por lo tanto el punto medio es actualmente . Igualando el punto con la expresión de la obs. 1), es fácil ver que y por lo tanto el punto es (el caso de la pregunta original usa q=2)

Para la segunda parte: Utilizando el resultado anterior se tiene que las ecuaciones para los puntos, satisfacen:


El caso limite es cuando e , en el cual la recta es tangente y las ecuaciones tienen la misma solución.

Utilizaremos la ecuación de las y's para ello:

Notemos que la segunda ecuación puede escribirse como y por lo que para que tenga solución se debe cumplir que . Esto nos da que

Saludos
Claudio.

[Laðeralus]

Excelente solución generalizada :]