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Integrales y residuos.

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2021, 08:17 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dado que el segundo semestre se imparte el curso de compleja en la PUC (al parecer lo dictará "un buen muchacho en quien confiar"), dejo propuestas unas cuantas integrales que desarrollé cuando fui ayudante. La idea es que sean desarrolladas usando el Teorema de los Residuos. $TEX: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^{2})^{n+1}}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} \cdot \pi.$$ $TEX: $ \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-r^{2}}{1-2r \cos \theta+r^{2}} \frac{d\theta}{2\pi}=1,$ $0 \leq r<1.$$ $TEX: $ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^{2}+b^{2}}dx=\frac{\pi e^{-\|a\|b}}{b}$, $a \in \mathbb{R}$, $b>0$.$ $TEX: $ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{3}\sin x}{(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{\pi}{2e}$.$ $TEX: $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\log z}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{\pi}{2a}\log a,$ $a>0$.$ $TEX: $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^{b}}=\frac{\pi}{b \sin(\pi/b)}$, $b>1$.$ $TEX: $\displaystyle\int_{-\infty} ^{\infty} \frac{\sin(a x)}{x(\pi^{2}-a^{2}x^{2})}dx=\frac{2}{\pi}$, $a>0$.$ $TEX: $\displaystyle \mathrm{P.V.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x-a_{1})\cdots (x-a_{m})}=0$, $a_{1}<a_{2}< \cdots<a_{m}.$$ --------------------

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2023, 06:03 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	2. $TEX: <br />Hacemos $z=re^{i\theta}$, entonces $d\theta = \frac{1}{iz}dz$, luego <br />\begin{align}<br />\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-r^{2}}{1-2r \cos \theta+r^{2}} \frac{d\theta}{2\pi} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\|z\|=r} \frac{1-r^{2}}{\|z-1\|^2 z}dz \\<br />&= (1-r^{2})\frac{1}{2\pi i}\int_{\|z\|=r} \frac{1}{(z-1)(\overline{z}-1) z}dz\\<br />&= (1-r^{2})\frac{1}{2\pi i}\int_{\|z\|=r} \frac{1}{(z-1)(\overline{z}z-z)}dz\\<br />&= (1-r^{2})\frac{1}{2\pi i}\int_{\|z\|=r} \frac{1}{(z-1)(r^2-z)}dz\\<br />&= (1-r^{2})\cdot \text{res}\left(\frac{1}{(z-1)(r^2-z)},r^2\right)\\<br />&= (1-r^{2})\cdot\frac{1}{1-r^2} = 1<br />\end{align}<br />$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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