Numerabilidad y sucesiones naturales monótonas

Numerabilidad y sucesiones naturales monótonas

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Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2021, 10:50 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Pruebe que $A=\{f:\mathbb{N} \to \mathbb{N};~f(n) \geq f(n+1)~\forall n \in \mathbb{N}\}$ es numerable.$ $TEX: Pruebe que $B=\{f:\mathbb{N} \to \mathbb{N};~f(n) \leq f(n+1)~\forall n \in \mathbb{N}\}$ no es numerable.$ --------------------

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2021, 01:31 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: 1. Notemos que una secuencia en $A$ es eventualmente constante, luego podemos ver que $A = \bigcup_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}} A_{n,m}$ donde $$A_{n,m} = \{ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}: f \text{ es constante a partir de } n \text{ y } f(n)=m \}$$ y además $S:A_{n,m}\to \mathbb{N}^{n-1}$ dada por $S(f) = (f(1),...,f(n-1))$ es inyectiva y se concluye usando que $\mathbb{N}^{n-1}$ es numerable y la unión de numerables es numerable.\\<br />2. Para $x\in [0,1]$, fijaremos su representación decimal $x = 0.x_1x_2x_3...$ con $x_n\in\{0,1,..,9\}$. No es difícil ver que $T:[0,1]\to B$ dada por $$T(0.a_1 a_2 a_3....) = (1+a_1,1+a_1+a_2,1+a_1+a_2+a_3,...)$$ es inyectiva por lo tanto $\|[0,1]\| \leq \|B\|$. Esto prueba que $B$ no es numerable.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2021, 07:35 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(mamboraper @ Aug 7 2021, 01:31 PM) $TEX: 1. Notemos que una secuencia en $A$ es eventualmente constante, luego podemos ver que $A = \bigcup_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}} A_{n,m}$ donde $$A_{n,m} = \{ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}: f \text{ es constante a partir de } n \text{ y } f(n)=m \}$$ y además $S:A_{n,m}\to \mathbb{N}^{n-1}$ dada por $S(f) = (f(1),...,f(n-1))$ es inyectiva y se concluye usando que $\mathbb{N}^{n-1}$ es numerable y la unión de numerables es numerable.\\<br />2. Para $x\in [0,1]$, fijaremos su representación decimal $x = 0.x_1x_2x_3...$ con $x_n\in\{0,1,..,9\}$. No es difícil ver que $T:[0,1]\to B$ dada por $$T(0.a_1 a_2 a_3....) = (1+a_1,1+a_1+a_2,1+a_1+a_2+a_3,...)$$ es inyectiva por lo tanto $\|[0,1]\| \leq \|B\|$. Esto prueba que $B$ no es numerable.$ Para el 2 hay que decir algo como que consideras solo cierto tipo de representaciones o de lo contrario $TEX: $T$$ no sería función (me refiero a los típicos ejemplos tipo $TEX: $0.5=0.4\overline{9}$.$ ). --------------------

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 7 2021, 07:53 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Matriu @ Aug 7 2021, 07:35 PM) Para el 2 hay que decir algo como que consideras solo cierto tipo de representaciones o de lo contrario $TEX: $T$$ no sería función (me refiero a los típicos ejemplos tipo $TEX: $0.5=0.4\overline{9}$.$ ). Si, para cada número en [0,1], escoger sólo una representación. -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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