 Desigualdad básica, Resultado de una leyenda rusa |
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 Jun 13 2021, 01:00 PM
Publicado:
#1
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 Maestro Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
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Jun 16 2021, 10:33 PM
Publicado:
#2
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 16-June 21 Desde: San Petersburgo, Rusia Miembro Nº: 167.093 Sexo:  |
![TEX: <br />Como es usual en este tipo de desigualdades, podemos asumir que $u$ es en $C^\infty_0(\mathbb R^2)$ y luego usar la densidad de este espacio en $H^1_0(\mathbb R^2)$.<br />Integrando en la direccion de $x$ y usando el teorema fundamental del calculo (en una dimension)<br />\[ u(x,y)^2 = \int_{-\infty}^x \partial_x(u^2) \, d\tilde x =2 \int_{-\infty}^x u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y)\, d\tilde x<br />\leq 2 \int_\mathbb R |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x, \]<br />y de manera analoga integrando en el eje $y$,<br />\[ u(x,y)^2 \leq 2 \int_\mathbb R |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y. \]<br /><br />Con lo anterior tenemos que<br />\[ u(x,y)^4 \leq 4 \int_\mathbb R |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x \int_\mathbb R |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y \]<br />integrando en $x$ obtenemos (notando que la primera integral del lado derecho es independiente de $x$),<br />\[ \int_\mathbb R u(x,y)^4\, dx \leq 4 \int_\mathbb R |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x \int_{\mathbb R^2} |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y dx \]<br />e integrando en $y$,<br />\[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \int_{\mathbb R^2} |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x dy \int_{\mathbb R^2} |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y dx. \]<br />Para finalizar aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las últimas integrales,<br /> \[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \| u\|_{L^2}\| \partial_x u\|_{L^2}\| u\|_{L^2}\| \partial_y u\|_{L^2}\leq 2 \| u\|_{L^2}^2 \| \nabla u\|_{L^2}^2, \]<br />que es la desigualdad pedida para funciones en $C_0^\infty(\mathbb R^2)$.<br />Ahora dada una función $u\in H_0^1(\mathbb R^2)$ podemos tomar una sucesión $(u_n)_{n\in \mathbb N} \subseteq C_0^\infty(\mathbb R^2)$ convergiendo a $u$ en la norma de $H_0^1(\mathbb R^2)$. Por la desigualdad que demostramos, esto implica que la sucessión es acotada en $L^4(\mathbb R^2)$, por lo tanto, por el teorema de Banach-Alaoglu, $u_n$ converge débil (salvo subsucesión) en $L^4(\mathbb R^2)$ a $\tilde u$. Como ambos límites implican convergencia en distribución y esta es única, obtenemos que $\tilde u = u$ c.t.p. Finalmente tenemos que<br />\[ \| u\|_{L^4(\mathbb R^2)}^4 \leq \liminf_n \| u_n\|^4 \leq 2\liminf_n \| u_n\|_{L^2}^2 \| \nabla u_n\|_{L^2}^2 = 2\| u\|_{L^2}^2 \| \nabla u\|_{L^2}^2\]<br /><br />](/tex-image/ace691c6f8bdfafdc79adfbfd29d97a8.png)
Mensaje modificado por Ladyzhenskaya el Jun 18 2021, 12:57 PM |
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Jun 18 2021, 12:36 PM
Publicado:
#3
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(Ladyzhenskaya @ Jun 16 2021, 10:33 PM)  ![TEX: <br />Como es usual en este tipo de desigualdades, podemos asumir que $u$ es en $C^\infty_0(\mathbb R^2)$ y luego usar la densidad de este espacio en $H^1_0(\mathbb R^2)$.<br />Integrando en la direccion de $x$ y usando el teorema fundamental del calculo (en una dimension)<br />\[ u(x,y)^2 = \int_{-\infty}^x \partial_x(u^2) \, d\tilde x =2 \int_{-\infty}^x u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y)\, d\tilde x<br />\leq 2 \int_\mathbb R |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x, \]<br />y de manera analoga integrando en el eje $y$,<br />\[ u(x,y)^2 \leq 2 \int_\mathbb R |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y. \]<br /><br />Con lo anterior tenemos que<br />\[ u(x,y)^4 \leq 4 \int_\mathbb R |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x \int_\mathbb R |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y \]<br />integrando en $x$ obtenemos (notando que la primera integral del lado derecho es independiente de $x$),<br />\[ \int_\mathbb R u(x,y)^4\, dx \leq 4 \int_\mathbb R |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x \int_{\mathbb R^2} |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y dx \]<br />e integrando en $y$,<br />\[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \int_{\mathbb R^2} |u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) | \, d\tilde x dy \int_{\mathbb R^2} |u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)| \, d\tilde y dx. \]<br />Para finalizar aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwart a las últimas integrales,<br /> \[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \| u\|_{L^2}\| \partial_x u\|_{L^2}\| u\|_{L^2}\| \partial_y u\|_{L^2}\leq 2 \| u\|_{L^2}^2 \| \nabla u\|_{L^2}^2, \]<br />que es la desigualdad pedida para funciones en $C_0^\infty(\mathbb R^2)$.<br />Ahora dada una función $u\in H_0^1(\mathbb R^2)$ podemos tomar una sucesión $(u_n)_{n\in \mathbb N} \subseteq C_0^\infty(\mathbb R^2)$ convergiendo a $u$ en la norma de $H_0^1(\mathbb R^2)$. Por la desigualdad que demostramos, esto implica que la sucessión es acotada en $L^4(\mathbb R^2)$, por lo tanto, por el teorema de Banach-Alaoglu, $u_n$ converge débil (salvo subsucesión) en $L^4(\mathbb R^2)$ a $\tilde u$. Como ambos límites implican convergencia en distribución y esta es única, obtenemos que $\tilde u = u$ c.t.p. Finalmente tenemos que<br />\[ \| u\|_{L^4(\mathbb R^2)}^4 \leq \liminf_n \| u_n\|^4 \leq 2\liminf_n \| u_n\|_{L^2}^2 \| \nabla u_n\|_{L^2}^2 = 2\| u\|_{L^2}^2 \| \nabla u\|_{L^2}^2\]<br /><br />](/tex-image/cb106ac7efe4b2fdf9e40039f07866b4.png)  -------------------- |
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Jun 18 2021, 01:01 PM
Publicado:
#4
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 16-June 21 Desde: San Petersburgo, Rusia Miembro Nº: 167.093 Sexo: |
CITA(Matriu @ Jun 18 2021, 12:36 PM) Sí, gracias. Estaba al tanto de la existencia de ambos Schwart?z, pero nunca me recuerdo de cual es cual o como se escribe exactamente. |
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Jul 1 2021, 03:02 PM
Publicado:
#5
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 16-June 21 Desde: San Petersburgo, Rusia Miembro Nº: 167.093 Sexo: |
Con el cañon me imagino que te refieres a la desigualdad de interpolación de Niremberg-Gagliardo, en tal caso es solo tomar valores particulares en esa desigualdad.
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Jul 13 2021, 07:44 PM
Publicado:
#6
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(Ladyzhenskaya @ Jul 1 2021, 03:02 PM) Con el cañon me imagino que te refieres a la desigualdad de interpolación de Niremberg-Gagliardo, en tal caso es solo tomar valores particulares en esa desigualdad. Correcto 
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