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> Propuesto "hereda condiciones del límite II"
Laðeralus
mensaje Apr 27 2021, 05:14 PM
Publicado: #1


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Calcule TEX: $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^x - \Gamma(x+1)}{x-1}$

Mensaje modificado por Laðeralus el Apr 27 2021, 05:15 PM
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mensaje Dec 8 2021, 11:29 AM
Publicado: #2


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Solucion "corta":

Consideremos TEX: $f(x)=x^x-\Gamma(x+1)$. Se sabe queTEX: $x^x$ y TEX: $\Gamma(x+1)$ son funciones diferenciables en TEX: $x=1$ y que TEX: $f(1)=1^1-\Gamma(2)=0$, por lo que el limite representa la derivada de f en 1, el cual es TEX: $f'(x)=x^x(\ln x+1)-\Gamma'(x+1)=x^x(\ln x+1)-\Gamma(x+1)\psi(x+1)$, donde TEX: $\psi$ es la función digamma (la derivada del logaritmo de la gamma).

De la relación funcional $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ uno puede deducir que TEX: $\psi(x)+\frac 1x=\psi(x+1)$, donde se sabe (se puede demostrar) que TEX: $\psi(1)=-\gamma$, donde $\gamma$ es la constante del mismisimo ctm oIlEr-MasCheRaNo.

Luego TEX: $f'(1)=1^1(0+1)-\Gamma(2)\psi(2)=1-1\times (\psi(1)+1)=-\psi(1)=\gamma$, por lo que el limite finalmente es TEX: $\gamma$.

Solucion "no tan corta pero igual se usan un par de o's":

Si x es cercano a 1, tenemos que x\ln x es cercano a 0, por lo que TEX: $x^x=e^{x \ln x}=1+x\ln x+o(x\ln x)$ y:
TEX: $\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt=\int_0^{\infty}t(1+(x-1)\ln t+o(x-1))e^{-t}dt=\int_0^{\infty}te^{-t}dt+(x-1)\int_0^{\infty}t \ln te^{-t}dt+o(x-1)=1+(x-1)\psi(2)+o(x-1)$<br />
El numerador queda TEX: $x^x-\Gamma(x+1)=x(\ln x+(x-1)\psi(2)+o(x-1)+o(\ln x))$

Luego TEX: $$\frac{x^x-\Gamma(x+1)}{x-1}=x\frac{\ln x+(x-1)\psi(2)+o(x-1)+o(\ln x)}{x-1}$$

Pero se sabe que TEX: $\ln x/(x-1)$ tiende a 1 cuando el limite a 1 pues es la derivada del logaritmo en x=1 lo que implica que los ordenes TEX: $o(\ln x)$ y TEX: $o(x-1)$ son los mismos:

TEX: $$\frac{x^x-\Gamma(x+1)}{x-1}=x\frac{\ln x+(x-1)\psi(2)+o(x-1)}{x-1}=x\frac{\ln x}{x-1}-(1-\gamma)+o(1)$$

Por lo queTEX: $$\lim_{x \to 1}\frac{x^x-\Gamma(x+1)}{x-1}=\lim_{x \to 1}x\frac{\ln x}{x-1}-(1-\gamma)=\gamma$$

Saludos
Claudio.



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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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Laðeralus
mensaje Dec 20 2021, 08:25 PM
Publicado: #3


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Bonita la solución con landau!
Yo apliqué la solución corta también
saludoss
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