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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Después de dos pruebas de buen nivel (años 2000 y 2001), con bajas participaciones de
![]() ![]() ![]() Yo estaba en edad de competir, con capacidad para intentar una ![]() ![]() Poco o nada he intentado por hacer los problemas de esta prueba, un poco por la situación explicada en los párrafos anteriores, y también por el ajetreo universitario, en la USACH Una moraleja queda de esto: si ahora las pruebas de clasificación sólo las rinden los medallistas de las olimpiadas nacionales (o bien, si creen que se usa un criterio más turbio), si opinan que ![]() 17ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS San Salvador, El Salvador, 2002 Primera Prueba ![]() Problema 2: Dado cualquier conjunto de nueve puntos en el plano, de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto ![]() ![]() Problema 3: Un punto ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Segunda Prueba ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 5: La sucesión ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 6: Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de ![]() ![]() ![]()
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Problema 5': Si una sucesión ![]() ![]() Problema 5'': Si una sucesión ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Resumen de soluciones: -------------------- |
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Publicado:
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
CITA(xsebastian @ Nov 16 2005, 11:23 PM) Problema 5: La sucesión ![]() ![]() ![]() ![]() Observemos que cuando los ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Particularmente, para un ![]() ![]() Generalmente: ![]() Lemita (xD): ![]() Demostración: Supongamos que ![]() Luego: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -------------------- Bachiller en Ciencias
(ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile ![]() |
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#3
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![]() Dios Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Excelente solucion al problema 5. Felicitaciones
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#4
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
A continuación, otra solución para el problema 5.
Por la recurrencia, observamos que la sucesión está definida en ![]() Proposición 1: La sucesión tiene infinitos términos bien definidos, es decir: ![]() ![]() Demostración: Definimos la función ![]() ![]() ![]() Supongamos que no existe ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Demostración: Ahora, entre los números ![]() 56 números en el intervalo [55,56[ 55 números en el intervalo [54,55[ ![]() 2 números en el intervalo [1,2[ Por lo tanto, al menos 2002-1-(56+55+...+2)=406 de estos números están en el intervalo ]0,1[. Como están ordenados de manera decreciente, entonces debe ser ![]() ![]() ![]() -------------------- |
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#5
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Una forma alternativa para ver el lema de Guia Rojo, es la siguiente:
![]() (la primera igualdad es por suma telescópica, la segunda es por la recurrencia, y la desigualdad es por reemplazar, cada término, por el mayor de todos ellos). Ahora viene un par de problemas adicionales, vinculados con este problema: Problema 5': Si una sucesión ![]() ![]() Problema 5'': Si una sucesión ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Tengan cuidado con el problema 5'', así me ayudan a corroborar, que lo haya redactado bien -------------------- |
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![]() Staff Fmat ![]() Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Solución al problema 4:
![]() ![]() Saludos ![]() ![]() ![]() -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 1:
![]() ![]() ![]() ![]() Ojo con las definiciones de las funciones ![]() ![]() Espero que este bien- Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. ![]() Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
gracias varguitas por revivir sector olimpico
![]() ![]() P3. -Notar que el LG de los puntos P es el arco capaz de AC de angulo 120 (solo interior al triangulo). Notar que independiente de P en dicho arco, el cuadrilatero BMPN es ciclico. Siendo O el centro del triangulo ABC, tenemos que <MBO=30 (siempre) y <MPO=180-<CPO=180-<CAO=180-30=150 por lo que el cuadrilatero BMPO es ciclico. Entonces el circuncentro X del triangulo BMN pertenece a la mediatriz de BO, por lo que el LG de los circuncentros es un segmento de la mediatriz de BO. Notemos que si P tiende a A, entonces X tiende a el corte de la mediatriz de BO con la perpendicular a AC por A, pero nunca alcanza el limite (por degenerarse la figura BMPN). Entonces el lugar geometrico buscado es el segmento determinado por las perpendiculares a AC por A y C con la mediatriz de BO, sin incluir los extremos. -------------------- ![]() |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Notemos que si P tiende a A, entonces X tiende a el corte de la mediatriz de BO con la perpendicular a AC por A, pero nunca alcanza el limite (por degenerarse la figura BMPN). Lo único que tengo para criticar esta solución, es la oración citada encima. En cualquier caso, se trata de un problema 3 de Olimpiada Iberoamericana de Matemática, así que ya es muy meritorio lo que has logrado. PD: -------------------- |
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#10
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Hola xsebastian
resulta que si P tiende a A, entonces M tambien tiende a A, y la mediatriz de MP tiende a la perpendicular a AC por A. Respecto del programa, yo uso CAR, y no use eso de limitrofe xD! solo traze las perpendiculares y marque los puntitos distintos. Gracias por la correccion, salu2 ![]() -------------------- ![]() |
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