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Juan Illanes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2021, 09:24 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 82 Registrado: 14-September 19 Desde: Concepción Miembro Nº: 163.344 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $a,b \in \mathbb{R}^+$$ y $TEX: $n\in\mathbb{N}_0$$ . Demuestre que $TEX: $\left(1+\dfrac{a}{b}\right)^n+\left(1+\dfrac{b}{a}\right)^n\ge 2^{n+1}$$ -------------------- Lo que no te mata, te hace más fuerte.

Wata Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2021, 03:57 AM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 15 Registrado: 25-August 19 Miembro Nº: 163.107 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Usando desigualdad $MA\geq MG$ , tenemos que<br /><br />$ (1+\frac{a}{b})^n+(1+\frac{b}{a})^n \geq 2\sqrt{((1+\frac{a}{b}) \cdot (1+\frac{b}{a}))^n}$<br /><br />$ =2\sqrt{(2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^n} \geq 2\sqrt{(4^n)}=2^{n+1} $<br /><br />Inducción: Supongamos SPG que $a\geq b \rightarrow (1+\frac{a}{b})\geq 2$. <br /><br />Sea $P(k): (1+\frac{a}{b})^k+(1+\frac{b}{a})^k\geq 2^{k+1}$ <br /><br />Caso $P(0): (1+1)\geq 2$. Verdadero. <br /><br />Supongamos $P(k)$ cierto para $k=0,1,2,...,n$ <br /><br />Luego $ (1+\frac{a}{b})^{k+1}+(1+\frac{b}{a})^{k+1}=(1+\frac{a}{b})^k \cdot (1+\frac{a}{b}) + (1+\frac{b}{a})^k \cdot (1+\frac{b}{a})\geq (1+\frac{a}{b})((1+\frac{a}{b})^k+(1+\frac{b}{a})^k)\geq 2\cdot 2^{k+1} = 2^{k+2}$$

Juan Illanes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2021, 12:02 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 82 Registrado: 14-September 19 Desde: Concepción Miembro Nº: 163.344 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto :3 -------------------- Lo que no te mata, te hace más fuerte.

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