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> propuesto mechon que se respeta 4, No derive.
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mensaje Nov 21 2020, 03:11 PM
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Dios Matemático Supremo
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Sin derivar, encuentre una expansión de Taylor (centrado en 0) hasta el sexto orden de TEX: $\ln (\cos x), |x|< \pi/2$

Saludos
Claudio.


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
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Juan Illanes
mensaje Dec 20 2020, 11:32 PM
Publicado: #2


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Lo había "hecho" hace rato, pero me daba paja resolver el sistema de ecuaciones.

Digamos que TEX: $f(x)=\ln(\cos(x))$. Enseguida podemos fijarnos que es una función par, por lo tanto la serie de Maclaurin (o Taylor centrada en x=0) solo se compone de términos pares.
Llamamos TEX: $g(x)=ax^2+bx^4+cx^6$ y podemos evaluar la función TEX: $f$ en lugares conocidos (como tiene una función trigonométrica), por ejemplo, en TEX: $x\in\left\{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{6}\right\}$ donde la función TEX: $f(x)\in\left\{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right),\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}$ y como queremos una aproximación, podemos igualar TEX: $f$ y TEX: $g$ en esos puntos.

TEX: \begin{eqnarray*}<br /> a\frac{\pi^2}{9}+b\frac{\pi^4}{81}+c\frac{\pi^6}{729}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\\<br /> a\frac{\pi^2}{16}+b\frac{\pi^4}{256}+c\frac{\pi^6}{4096}=\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\<br /> a\frac{\pi^2}{36}+b\frac{\pi^4}{1296}+c\frac{\pi^6}{46656}=\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)<br />\end{eqnarray*}

Resolviendo el sistema feo:

TEX: \begin{align*}<br /> a &=\frac{-214407\ln(2)+122472\ln(3)}{2835\pi^2}\\<br /> b &=\frac{11916\ln(2)-7560\ln(3)}{7\pi^4}\\<br /> c &=-\frac{347328\ln(2)-217728\ln(3)}{35\pi^6}<br />\end{align*}

Archivo Adjunto  Screenshot_8.png ( 92.02k ) Número de descargas:  2


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mensaje Dec 21 2020, 09:13 AM
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CITA(Juan Illanes @ Dec 20 2020, 11:32 PM) *
Lo había "hecho" hace rato, pero me daba paja resolver el sistema de ecuaciones.

Digamos que TEX: $f(x)=\ln(\cos(x))$. Enseguida podemos fijarnos que es una función par, por lo tanto la serie de Maclaurin (o Taylor centrada en x=0) solo se compone de términos pares.
Llamamos TEX: $g(x)=ax^2+bx^4+cx^6$ y podemos evaluar la función TEX: $f$ en lugares conocidos (como tiene una función trigonométrica), por ejemplo, en TEX: $x\in\left\{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{6}\right\}$ donde la función TEX: $f(x)\in\left\{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right),\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}$ y como queremos una aproximación, podemos igualar TEX: $f$ y TEX: $g$ en esos puntos.

TEX: \begin{eqnarray*}<br /> a\frac{\pi^2}{9}+b\frac{\pi^4}{81}+c\frac{\pi^6}{729}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\\<br /> a\frac{\pi^2}{16}+b\frac{\pi^4}{256}+c\frac{\pi^6}{4096}=\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\<br /> a\frac{\pi^2}{36}+b\frac{\pi^4}{1296}+c\frac{\pi^6}{46656}=\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)<br />\end{eqnarray*}

Resolviendo el sistema feo:

TEX: \begin{align*}<br /> a &=\frac{-214407\ln(2)+122472\ln(3)}{2835\pi^2}\\<br /> b &=\frac{11916\ln(2)-7560\ln(3)}{7\pi^4}\\<br /> c &=-\frac{347328\ln(2)-217728\ln(3)}{35\pi^6}<br />\end{align*}

Archivo Adjunto  Screenshot_8.png ( 92.02k ) Número de descargas:  2


Uy... que pena. No es lo que se pedía. Lo que hiciste fue encontrar un "polinomio interpolador" (Lagrange), la cual no es la serie de taylor centrada en 0. Sin embargo, no todo es malo. En la primera linea diste información que podría ser relevante para la solución del problema. ¡A seguir intentando!

Daré un par de hints:

Saludos
Claudio.

PS: Recomiendo ir al propuesto "Hereda condiciones del limite", podría servir.



Mensaje modificado por 2.718281828 el Dec 21 2020, 09:14 AM


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Laðeralus
mensaje Dec 21 2020, 01:11 PM
Publicado: #4


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Mensaje modificado por Laðeralus el Dec 21 2020, 05:40 PM
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SuKeVinBellaKo
mensaje Dec 22 2020, 01:50 AM
Publicado: #5


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CITA(2.718281828 @ Nov 21 2020, 03:11 PM) *
Sin derivar, encuentre una expansión de Taylor (centrado en 0) hasta el sexto orden de TEX: $\ln (\cos x), |x|< \pi/2$

Saludos
Claudio.


Yo se que tu me vas a matar Claudio por esta pregunta. Pero sabes que me manejo harto menos en calculo que ustedes.

Como crestas se encuentra Taylor sin derivar? Formula de la integral de Cauchy quizas?
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Laðeralus
mensaje Dec 22 2020, 10:28 AM
Publicado: #6


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CITA(SuKeVinBellaKo @ Dec 22 2020, 01:50 AM) *
Yo se que tu me vas a matar Claudio por esta pregunta. Pero sabes que me manejo harto menos en calculo que ustedes.

Como crestas se encuentra Taylor sin derivar? Formula de la integral de Cauchy quizas?

Con la O grande se puede, pero pienso que no está a nivel de mechón. Tampoco sé si es la resolución que se espera
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2.718281828
mensaje Dec 22 2020, 10:42 AM
Publicado: #7


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CITA(SuKeVinBellaKo @ Dec 22 2020, 01:50 AM) *
Yo se que tu me vas a matar Claudio por esta pregunta. Pero sabes que me manejo harto menos en calculo que ustedes.

Como crestas se encuentra Taylor sin derivar? Formula de la integral de Cauchy quizas?

No, como eso...

Es cierto que dije "sin derivar", pero me refería a no darse la paja de derivar la función TEX: $\ln \cos x$ entera. En el fondo igual vamos a usar ciertas series de taylor en las cuales implicitamente hay un previo uso de las derivadas, tanto del coseno como del logaritmo (aunque de esto ultimo es mas integración que derivación), pero son series relativamente conocidas, de ahi viene el asunto de "no derivar". Pero con "no derivar" también implica, como aparece en el hint, usar algún tipo de expansiones u aproximaciones cuando TEX: $x$ es chico.

CITA(Laðeralus @ Dec 21 2020, 01:11 PM) *
¿Se espera una solución con usando la O? tongue.gif
Hay una forma super fácil, sale en 1 paso, no se necesita derivar, pero sí integrar sad.gif


voh dale no mah... con O, integrando, como gustes.



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Laðeralus
mensaje Dec 22 2020, 04:13 PM
Publicado: #8


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CITA(2.718281828 @ Dec 22 2020, 10:42 AM) *
voh dale no mah... con O, integrando, como gustes.


Me saqué los pillos partiendo con la serie de la tangente. No es muy conocida porque tiene coeficientes feos que son números de Bernoulli, algo así, no me acuerdo bien:
TEX: \[ \tan(x) = x+\frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \ldots = x+\frac{1}{3}x^3 + O(x^5) \]
con TEX: \[ |x|<\frac{\pi}{2} \]

Integramos, considerando 0 a la constante de integración por ser Taylor centrado en el origen,
TEX: \[ -\ln(\cos(x)) = \frac{1}{2} x^2+\frac{1}{12}x^4 + O(x^6) \]
TEX: \[ \ln(\cos(x)) = -\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{12}x^4 - O(x^6) \]
Esta serie hereda las condiciones de la serie de la tangente y no es w_eveo xd
¿así es?

Mensaje modificado por Laðeralus el Dec 23 2020, 12:38 AM
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Laðeralus
mensaje Dec 22 2020, 04:18 PM
Publicado: #9


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Otra forma sería tomar TEX: \[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \] , cambiar TEX: $x$ por TEX: $\cos(x)-1$ y aplicar el hint de Claudio (creo)

Mensaje modificado por Laðeralus el Dec 22 2020, 05:06 PM
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SuKeVinBellaKo
mensaje Dec 23 2020, 04:59 AM
Publicado: #10


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CITA(Laðeralus @ Dec 22 2020, 10:28 AM) *
Con la O grande se puede, pero pienso que no está a nivel de mechón. Tampoco sé si es la resolución que se espera


cuando estuve en primer semestre en fisica, my profe se sacaba aproximaciones de raiz(1+x) por ejemplo con la O, sin derivar (no podia derivar porque no sabiamos) pero alguien me puede confirmar si eso esta bien?

Ya ni me acuerdo como lo hacia xD, pero creo que podia sacar que raiz(1+x)=1+x/2+O(x^2) y al parecer podia sacar mas terminos si se lo pedian. Es eso matematicamente correcto? Obviamente no me acuerdo los detalles ya que fue hace como 10 anyos.
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