Propuesto selectivo IMO 2014

Propuesto selectivo IMO 2014, Andaba sin resolver por ahí

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2020, 12:47 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br /><br />\textbf{P4}: Sea $f(x)$ un polinomio de coeficientes enteros. Pruebe que si $f(-1)$, $f(0)$ y $f(1)$ no son divisibles entre tres, entonces $3$ no divide a $f(n)$ para todo entero $n$<br /><br />$ Mensaje modificado por Fran.tgx el Jun 23 2020, 12:49 PM

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2020, 05:12 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	hint: probar que si a,b son enteros entonces a-b\|f(a)-f(b) -------------------- blep

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2020, 06:19 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	oh que buena, ahora sé que hay al menos dos formas de demostrarlo, luego postearé la mía, igual queda propuesto hacerlo de esta forma. Mensaje modificado por Fran.tgx el Jun 23 2020, 06:20 PM

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2020, 09:10 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: El hecho de que $a-b\|p(a)-p(b)$ sale directamente de que $a-b\|a^k-b^k$ si $k\in\mathbb{N}$. Sea $n\in\mathbb{Z}$ notemos $n = 3q+r$ donde $q\in \mathbb{Z}$ y $r\in\{-1,0,1\}$, luego, vemos que $n-r\|p(n)-p®\Rightarrow 3q\|p(n)-p®\Rightarrow 3\|p(n)-p®$ pero como 3 no divide a $p®$ sigue que tampoco puede dividir a $p(n)$ y concluimos.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2020, 10:17 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Y podemos generalizar el resultado de la siguiente forma: $TEX: Dado $k\in\mathbb N$, sea $P$ un polinomio a coeficientes enteros tal que $k\nmid P(j)$ para cada $j\in\{0,1,\dots, k-1\}$. Entonces para todo $n\in\mathbb N$, $k$ no divide a $P(n)$.$ -------------------- blep

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 23 2020, 10:55 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	Buena mamboraper. Ahora probaré la proposicion que ha generalizado snw. $TEX: <br />Como es de esperar analizaremos esto en módulo k.<br /><br />\vspace{0.4cm}<br /><br />Sea $r$ un entero tal que $0 \leq r \leq k-1$, basta de mostrar que si $x_0 \equiv r \mod{k} \Rightarrow f(x) \equiv f® \mod{k}$, ya que como $k$ divide a la resta $f(x_0)-f®$ pero no a $f®$ entonces no divide a $f(x_0)$ (es parecido a la demostración de arriba pero no exactamente igual).<br /><br />\vspace{0.4cm}<br /><br />Sea $f(x)=a_n x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ con $a_0, a_1,...,a_n$ enteros.<br /><br />Ahora si $x_0 \equiv r \mod{k}$ entonces $f(x_0)=a_n {x_0}^n+a_{n-1}(x_0)^{n-1}+...+a_1(x_0)+a_0 \equiv a_n r^{n}+a_{n-1} r^{n-1}+...+a_1 r+a_0 =f®$<br />$ por lo rapido que vi el hint pensé que eran más o menos distintas las pruebas, pero ahora que lo veo son esencialmente lo mismo, solo que con otra notación.

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