Identificarse Registrarse

Psu
Enseñanza Básica
Enseñanza Media
Universidad
Olimpiadas
Comunidad



 
 Reply to this topicStart new topic
> Muy tranqui, Italia 2019
mamboraper
mensaje Jun 9 2020, 05:09 PM
Publicado: #1


Maestro Matemático
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 134
Registrado: 28-March 14
Miembro Nº: 128.100
Nacionalidad:
Sexo:



TEX: Sean $p,q$ números primos. Pruebe que si $p+q^2$ es un cuadrado perfecto, entonces para todo $n\geq 1$, $p^2 + q^n$ no es cuadrado perfecto.


--------------------
Hago clases particulares (activo 2024).
Cualquier consulta por MP.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
Fran.tgx
mensaje Jun 9 2020, 11:25 PM
Publicado: #2


Principiante Matemático Destacado
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 26
Registrado: 27-February 18
Miembro Nº: 155.850
Nacionalidad:
Sexo:



TEX: <br />Asumamos que $p,q>0$. <br />Sea $a$ tal que $p+q^2=a^2 \Rightarrow p = (a-q)(a+q) $ y como $p$ es primo $(a-q=1 \wedge a+q=p) \vee (a-q=-p \wedge a+q=-1)$ donde deducimos $p=2q+1$ <br /><br />\vspace{0,4cm} <br /><br />Ahora supongamos que $p^2 +q^n =b^2$ para algún $b \in \mathbb Z $ de esta forma $q^n=(b-p)(b+p)$ y usando el mismo razonamiento anterior $(b=p+q^x \wedge b=q^y -p) \vee (b=p-q^y \wedge b=-q^x -p)$ donde $x$ e $y$ son enteros no negativos tales que $x \leq y$ y su suma es $n$, lo anterior nos conduce a la siguiente igualdad. $$ 2p=q^y-q^x= 4q+2$$<br /><br />Si $x \neq 0 \Rightarrow q|2 \Rightarrow q=2$, es decir $p=5$ y por lo tanto $10=2^{y} -2^x \Rightarrow 5 + 2^{x-1}=2^{y-1}$ la cual no tiene solución para $x,y >0$ enteros (aunque sea $x=1$), contradiciendo la existencia de $b$.<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />Si $x=0 \Rightarrow q|3 \Rightarrow q=3$, es decir $p=7$ y por lo tanto $14 +1 = 3^{y}$, la cual tampoco tiene solución. <br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />Finalmente no existe ese tal $ b \in \mathbb Z$<br /><br />
Go to the top of the page
 
+Quote Post
mamboraper
mensaje Jun 10 2020, 01:14 PM
Publicado: #3


Maestro Matemático
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 134
Registrado: 28-March 14
Miembro Nº: 128.100
Nacionalidad:
Sexo:



Correcto, justo lo esperado. Saludos


--------------------
Hago clases particulares (activo 2024).
Cualquier consulta por MP.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
 

Reply to this topicStart new topic
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):

 

Versión Lo-Fi Fecha y Hora actual: 1st April 2025 - 07:19 PM
Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007  IPS, Inc.