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> Muy tranqui, Italia 2019
mamboraper
mensaje Jun 9 2020, 05:09 PM
Publicado: #1


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TEX: Sean $p,q$ números primos. Pruebe que si $p+q^2$ es un cuadrado perfecto, entonces para todo $n\geq 1$, $p^2 + q^n$ no es cuadrado perfecto.


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Fran.tgx
mensaje Jun 9 2020, 11:25 PM
Publicado: #2


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TEX: <br />Asumamos que $p,q>0$. <br />Sea $a$ tal que $p+q^2=a^2 \Rightarrow p = (a-q)(a+q) $ y como $p$ es primo $(a-q=1 \wedge a+q=p) \vee (a-q=-p \wedge a+q=-1)$ donde deducimos $p=2q+1$ <br /><br />\vspace{0,4cm} <br /><br />Ahora supongamos que $p^2 +q^n =b^2$ para algún $b \in \mathbb Z $ de esta forma $q^n=(b-p)(b+p)$ y usando el mismo razonamiento anterior $(b=p+q^x \wedge b=q^y -p) \vee (b=p-q^y \wedge b=-q^x -p)$ donde $x$ e $y$ son enteros no negativos tales que $x \leq y$ y su suma es $n$, lo anterior nos conduce a la siguiente igualdad. $$ 2p=q^y-q^x= 4q+2$$<br /><br />Si $x \neq 0 \Rightarrow q|2 \Rightarrow q=2$, es decir $p=5$ y por lo tanto $10=2^{y} -2^x \Rightarrow 5 + 2^{x-1}=2^{y-1}$ la cual no tiene solución para $x,y >0$ enteros (aunque sea $x=1$), contradiciendo la existencia de $b$.<br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />Si $x=0 \Rightarrow q|3 \Rightarrow q=3$, es decir $p=7$ y por lo tanto $14 +1 = 3^{y}$, la cual tampoco tiene solución. <br /><br />\vspace{0,3cm}<br /><br />Finalmente no existe ese tal $ b \in \mathbb Z$<br /><br />
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mamboraper
mensaje Jun 10 2020, 01:14 PM
Publicado: #3


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Correcto, justo lo esperado. Saludos


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