XV OIM: 2000, Sin resolver: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Opciones

[Guz]

Problema 4: De una progresión aritmética infinita: en: , se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita de razón: . El 1 no fue eliminado. ¿Qué valores puede tomar: ?

Sea b_i, i=0,1,2,3,... la sucesión geométrica resultante. Notar que como b_0=1, b_n=q^n. Ergo, q=b_1 debe ser igual a a_j para algún j. Por lo tanto, q pertenece a la sucesión.

Por otra parte, si q=a_j=1+j*k, donde k=a_1-1 es la constante de la sucesión aritmética, tenemos que
q^n = (1+j*k)^n= sum_{i=0}^{n} Bin(n,i) j^i k^i = 1 +k*(j*sum_{i=0}^{n-1} Bin(n,i) j^i k^i)
Sea M(n) = j*sum_{i=0}^{n-1} Bin(n,i) j^i k^i. Entonces, b_n=q^n=a_{M(n)} = 1+k*M(n)
Esto es, q^n es un término de la sucesión aritmética para todo n, y la sucesión b_n puede ser obtenida de a_n eliminado los términos que no corresponden a ningún M(n).

Concluimos que q puede tomar cualquier valor en la sucesión aritmética (distinto de 1, para que sea infinita) y sólo valores en la sucesión aritmética.