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sumatorias de 4's

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 21 2020, 12:20 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Calcule $TEX: $$x=\sqrt{4 + \sqrt{4^2 + \sqrt{4^3 + \sqrt{4^4 + \ldots}}}}$$$

El_Feo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2020, 12:20 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 22-April 20 Miembro Nº: 165.119 Nacionalidad: Sexo:	No fue directo encontrar la recurrencia. Aquí vamos: Consideremos la función $TEX: $\mathrm{f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}}$$ definida por $TEX: $\mathrm{f(n)=2^n+1}$$ . Reescribiremos f de la siguiente forma, de modo que encontremos una recurrencia: $TEX: \begin{eqnarray}<br />\mathrm{f(n)=\sqrt{(2^n+1)^2}}<br />&=&\mathrm{\sqrt{4^n+2^{n+1}+1}}\\<br />&=&\mathrm{\sqrt{4^n+f(n+1)}}<br />\end{eqnarray}$ Luego, si se escribe por recurrencia $TEX: $\mathrm{f(n+1)}$$ , tenemos que $TEX: $\mathrm{f(n)}=\mathrm{\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+f(n+2)}}}$$ . Por lo tanto, si se aplica sucesivamente, tenemos $TEX: $$\mathrm{f(n)}=\mathrm{\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\sqrt{4^{n+2}+\cdots+\sqrt{4^{n+k-1}+f(n+k)}}}}}, \,\ \forall \mathrm{k} \in \mathbb{\mathrm{N}}$$\\$ En particular, $TEX: <br />\begin{eqnarray}<br />\mathrm{x}=\sqrt{4 + \sqrt{4^2 + \sqrt{4^3 + \sqrt{4^4 + \ldots}}}}&=&\mathrm{f(1)}\\<br />&=& 2^{1} +1\\<br />&=&3.<br />\end{eqnarray}<br />$

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2020, 02:32 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(El_Feo @ Apr 22 2020, 12:20 PM) No fue directo encontrar la recurrencia. Aquí vamos: Consideremos la función $TEX: $\mathrm{f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}}$$ definida por $TEX: $\mathrm{f(n)=2^n+1}$$ . Reescribiremos f de la siguiente forma, de modo que encontremos una recurrencia: $TEX: \begin{eqnarray}<br />\mathrm{f(n)=\sqrt{(2^n+1)^2}}<br />&=&\mathrm{\sqrt{4^n+2^{n+1}+1}}\\<br />&=&\mathrm{\sqrt{4^n+f(n+1)}}<br />\end{eqnarray}$ Luego, si se escribe por recurrencia $TEX: $\mathrm{f(n+1)}$$ , tenemos que $TEX: $\mathrm{f(n)}=\mathrm{\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+f(n+2)}}}$$ . Por lo tanto, si se aplica sucesivamente, tenemos $TEX: $$\mathrm{f(n)}=\mathrm{\sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\sqrt{4^{n+2}+\cdots+\sqrt{4^{n+k-1}+f(n+k)}}}}}, \,\ \forall \mathrm{k} \in \mathbb{\mathrm{N}}$$\\$ En particular, $TEX: <br />\begin{eqnarray}<br />\mathrm{x}=\sqrt{4 + \sqrt{4^2 + \sqrt{4^3 + \sqrt{4^4 + \ldots}}}}&=&\mathrm{f(1)}\\<br />&=& 2^{1} +1\\<br />&=&3.<br />\end{eqnarray}<br />$ bieeen Propondré otro similar, a ver si detectan la recursividad

El_Feo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 24 2020, 08:36 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 22-April 20 Miembro Nº: 165.119 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Laðeralus @ Apr 23 2020, 02:32 AM) bieeen Propondré otro similar, a ver si detectan la recursividad @Laðeralus, una pregunta, si se toma $TEX: $\textbf{a}$$ entero, sabes si existe una forma cerrada para $TEX: $$x=\sqrt{a + \sqrt{a^2 + \sqrt{a^3 + \sqrt{a^4 + \ldots}}}}$$$

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 24 2020, 11:57 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	No lo sé. Yo creo que debe tener alguna expresión cerrada. El único-gran desafío es encontrar la recursividad. En el caso que a=4 era más sencilla, ya que elevar a 2 la expresión te hace aparecer de inmediato f(n+1).

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