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Laðeralus
mensaje Apr 19 2020, 06:58 AM
Publicado: #1


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Demuestre que
TEX: \[ \arctan(x)\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\geq \frac{\pi^2}{8}\cdot \frac{x}{x^2+1} \]


Mensaje modificado por Laðeralus el Apr 19 2020, 07:00 AM
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Legition Rompedi...
mensaje Apr 19 2020, 09:28 AM
Publicado: #2


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Cuek tome esta desigualdad y eleve al cuadrado https://www.physicsforums.com/threads/most-...tan-1-x.143695/


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Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.

From my personal life: I highly recommend this video Click Here!

Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial.
Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos.
Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL).

Realidad universidades del mundo (18:30): Youtube
Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!!

No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general.

En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%.



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mensaje Apr 19 2020, 12:35 PM
Publicado: #3


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Por trabajo de desigualdades llego a:
TEX: \[\frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})}{2}\ge \frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})-{{\arctan }^{2}}(x)}{2}\ge \frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-2{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})}{2}\]
donde:
TEX: \[\frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})-{{\arctan }^{2}}(x)}{2}=\arctan (x)\arctan (\frac{1}{x})\]
Tengo un error de signo, el ultimo -2arctan(x) se anula y es 0.

Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Apr 19 2020, 12:45 PM


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Laðeralus
mensaje Apr 19 2020, 04:37 PM
Publicado: #4


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CITA(Legition Rompediskoteqa @ Apr 19 2020, 12:35 PM) *
Por trabajo de desigualdades llego a:
TEX: \[\frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})}{2}\ge \frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})-{{\arctan }^{2}}(x)}{2}\ge \frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-2{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})}{2}\]
donde:
TEX: \[\frac{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-{{\arctan }^{2}}(\frac{1}{x})-{{\arctan }^{2}}(x)}{2}=\arctan (x)\arctan (\frac{1}{x})\]
Tengo un error de signo, el ultimo -2arctan(x) se anula y es 0.


qué tiene que ver todo lo que hiciste con lo que hay que demostrar? No aparece ni el pi^2/8 ni x/(x^2+1)
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Legition Rompedi...
mensaje Apr 19 2020, 06:18 PM
Publicado: #5


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Sorry tenia un error en trabajar con desigualdades.
Para todo x entre -inf y 0 no incluyendolos
TEX: \[\arctan (\frac{1}{x})+\frac{\pi }{2}\le \frac{\pi }{2}\]
la desigualdad anterior es estrictamente mayor
luego con:
TEX: \[{{\arctan }^{2}}(x)+\pi \arctan (x)+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\le {{\pi }^{2}}\]
se llega a:
-pi2/4<arctanxarctan(1/x)
Para todo x entre 0 e inf
TEX: \[\frac{\pi }{2}\arctan (x)-\frac{3{{\pi }^{2}}}{8}\le \arctan x\arctan (\frac{1}{x})\]

Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Apr 19 2020, 06:40 PM


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Laðeralus
mensaje Apr 19 2020, 06:43 PM
Publicado: #6


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Vuelvo a repetir: qué tiene que ver todo lo que hiciste con lo que hay que demostrar?
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mensaje Apr 20 2020, 12:27 AM
Publicado: #7


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Debo decir que fue un problema bastante dificil, que solo se puede hacer usando tópicos de calculo.

Voy a comenzar con un lema:

Sea h(x) una función continua en [a,b] e integrable tal que TEX: $\int_a^b h(x)dx=0$ y tal que existe un único c en ]a,b] tal que h©=0, para el cual h(x)>0 en ]a,c[ y en ]c,b] h(b)>0. Entonces, para todo x en [a,b],
TEX: $$\int_a^x h(t)dt\geq 0$$

La demostración esta basada en el teorema de Rolle. En efecto, sea TEX: $$H(x)=\int_a^x h(t)dt\geq 0$$ si existe d entre [c,d] tal que H(d)=0, como H(a)=H(b) es 0, por el teorema de Rolle + fundamental del cálculo, H'(x)=h(x) debe tener al menos una raiz entre [c,b], lo cual contradice las hipotesis del teorema.

Considere la funcion TEX: $$h(x)=\sin x-\frac{8}{\pi^2}x$$ en TEX: $[0,pi/2]$ y sea TEX: $$H(x)=\int_0^x h(t)dt$$. Claramente h(0)=0, pero esto no contradice las hipotesis del teorema. Es facil ver que tanto H como h satisfacen las hipotesis del teorema, en efecto, la ecuación TEX: $\sin x/x=8/\pi^2$ posee una solución en el intervalo por simple inspección del teorema del valor intermedio y es única (descontando el punto x=0). AdemasTEX: $H(0)=H(\pi/2)=0$. Se concluye por el lema anterior que
$TEX: $$H(x)=\int_0^x h(t)dt=1-\cos x-\frac{4}{\pi^2}x^2\geq 0$$
Esto es:
TEX: $$\cos x \leq 1-\frac{4}{\pi^2}x^2=(1-\frac{2}{\pi}x)(1+\frac{2}{\pi}x)$$
Para todo x en [0,pi/2].

Ahora, el resultado, mediante un procedimiento similar, o simple argumento de simetria, tambien se extiende para x en TEX: $[-\pi/2,\pi/2]$

Pues, y que tiene que ver con la desigualdad?. Escribamos la desigualdad obtenida multiplicando por un factor adecuado:

TEX: $$\frac{\pi^2}4\cos x \leq (\frac {\pi}{2}-x)(\frac{\pi}{2}+x)$$
Sea TEX: $$y=\tan(\frac 12(x+\pi/2))$$, el cual es una transformacion 1-1.

Entonces mediante uso de trigonometria básica, tenemos que TEX: $$\cos x=\frac{2 y}{1+y^2}$$. Luego en el segundo miembdro de la desigualdad tenemos que TEX: $2 \arctan y=x+\pi/2$ lo que nos da:

TEX: $$\frac{\pi^2}2\frac{ y}{1+y^2} \leq (\pi-2\arctan y)2 \arctan y$$
o bien:
TEX: $$\frac{\pi^2}8\frac{ y}{1+y^2} \leq (\frac{\pi}{2}-\arctan y) \arctan y$$
Donde la desigualdad se concluye mediante la famosa identidad del arcotangente de 1/x.

Saludos
Claudio.








--------------------
Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

[indent]
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Fmat dejame subir mas citas!
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mensaje Apr 20 2020, 11:17 AM
Publicado: #8


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QUOTE(2.718281828 @ Apr 20 2020, 01:27 AM) *
Debo decir que fue un problema bastante dificil, que solo se puede hacer usando tópicos de calculo.

Voy a comenzar con un lema:

Sea h(x) una función continua en [a,b] e integrable tal que TEX: $\int_a^b h(x)dx=0$ y tal que existe un único c en ]a,b] tal que h©=0, para el cual h(x)>0 en ]a,c[ y en ]c,b] h(b)>0. Entonces, para todo x en [a,b],
TEX: $$\int_a^x h(t)dt\geq 0$$

La demostración esta basada en el teorema de Rolle. En efecto, sea TEX: $$H(x)=\int_a^x h(t)dt\geq 0$$ si existe d entre [c,d] tal que H(d)=0, como H(a)=H(b) es 0, por el teorema de Rolle + fundamental del cálculo, H'(x)=h(x) debe tener al menos una raiz entre [c,b], lo cual contradice las hipotesis del teorema.


Saludos
Claudio.

Dejando de lado el nefasto hecho de colocar un tema en un subforo donde no corresponde. Alguien sabe como se trabaja con desigualdades para intervalos particionados?


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mensaje Apr 21 2020, 12:17 AM
Publicado: #9


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CITA(Legition Rompediskoteqa @ Apr 20 2020, 11:17 AM) *
Dejando de lado el nefasto hecho de colocar un tema en un subforo donde no corresponde. Alguien sabe como se trabaja con desigualdades para intervalos particionados?


Lo posteo en "desigualdades e inecuaciones" y lo encuentras nefasto por tener integrales.
Lo posteo en "integrales" y lo encuentras nefasto por tener desigualdades.
¿Dónde queris que lo postee, en "sector conversación"? xd

Pidámosle al administrador que haga un sub_subforo que se llame "Ejercicios que tengan integrales y desigualdades, pero esas dos cosas no mas"
------------------------------------------------

CITA(2.718281828 @ Apr 20 2020, 12:27 AM) *
y en ]c,b] h(b)>0

No entendí esa parte de la hipótesis del lema. ¿están bien escritos los parmaétros?

CITA(2.718281828 @ Apr 20 2020, 12:27 AM) *
si existe d entre [c,d]

Tampoco entendí esa parte.

CITA(2.718281828 @ Apr 20 2020, 12:27 AM) *
como H(a)=H(b) es 0 (...) H'(x)=h(x) debe tener al menos una raiz entre [c,b]

¿no será entre [a,b]?

Mensaje modificado por Laðeralus el Apr 21 2020, 04:22 AM
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mensaje Apr 21 2020, 08:13 AM
Publicado: #10


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QUOTE(Laðeralus @ Apr 21 2020, 01:17 AM) *
Lo posteo en "desigualdades e inecuaciones" y lo encuentras nefasto por tener integrales.
Lo posteo en "integrales" y lo encuentras nefasto por tener desigualdades.
¿Dónde queris que lo postee, en "sector conversación"? xd

Pidámosle al administrador que haga un sub_subforo que se llame "Ejercicios que tengan integrales y desigualdades, pero esas dos cosas no mas"
------------------------------------------------
No entendí esa parte de la hipótesis del lema. ¿están bien escritos los parmaétros?
Tampoco entendí esa parte.
¿no será entre [a,b]?

jajjaj de seguro un alumno aunque sea de la uchile, en sus apuntes de calculo no esta el teorema mencionado por e. Razone un poco mas su argumento


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