XXXIV OIM: 2019 - Foro fmat.cl

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XXXIV OIM: 2019, Sin resolver: 1, 2, 3, 4, 5, 6

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2019, 11:40 AM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	34ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS Guanajuato, México, 2019 Primera prueba: domingo 15 de septiembre de 2019 Problema 1: Para cada entero positivo $TEX: $n$$ , sea $TEX: $s(n)$$ la suma de los cuadrados de los dígitos de $TEX: $n$$ . Por ejemplo, $TEX: $s(15) = 1^2+5^2 = 26$$ . Determine todos los enteros $TEX: $n\ge1$$ tales que $TEX: $s(n) = n$$ . Problema 2: Determine todos los polinomios $TEX: $P(x)$$ de grado $TEX: $n\ge1$$ con coeficientes enteros tales que para todo número real $TEX: $x$$ se cumple $TEX: $P(x) = (x-P(0))(x-P(1))(x-P(2))\cdots(x-P(n-1))$$ . Problema 3: Sea $TEX: $\Gamma$$ el circuncírculo del triángulo $TEX: $ABC$$ . La paralela a $TEX: $AC$$ que pasa por $TEX: $B$$ corta a $TEX: $\Gamma$$ en $TEX: $D$$ ( $TEX: $D\neq B$$ ) y la paralela a $TEX: $AB$$ que pasa por $TEX: $C$$ corta a $TEX: $\Gamma$$ en $TEX: $E$$ ( $TEX: $E\neq C$$ ). Las rectas $TEX: $AB$$ y $TEX: $CD$$ se cortan en $TEX: $P$$ , y las rectas $TEX: $AC$$ y $TEX: $BE$$ se cortan en $TEX: $Q$$ . Sea $TEX: $M$$ el punto medio de $TEX: $DE$$ . La recta $TEX: $AM$$ corta a $TEX: $\Gamma$$ en $TEX: $Y$$ ( $TEX: $Y\neq A$$ ) y a la recta $TEX: $PQ$$ en $TEX: $J$$ . La recta $TEX: $PQ$$ corta al circuncírculo del triángulo $TEX: $BCJ$$ en $TEX: $Z$$ ( $TEX: $Z\neq J$$ ). Si las rectas $TEX: $BQ$$ y $TEX: $CP$$ se cortan en $TEX: $X$$ , demuestre que $TEX: $X$$ pertenece a la recta $TEX: $YZ$$ . Nota. El circuncírculo de un triángulo es la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Segunda prueba: lunes 16 de septiembre de 2019 Problema 4: Sea $TEX: $ABCD$$ un trapecio con $TEX: $AB \parallel CD$$ e inscrito en la circunferencia $TEX: $\Gamma$$ . Sean $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ dos puntos en el segmento $TEX: $AB$$ ( $TEX: $A, P, Q, B$$ están en ese orden y son distintos) tales que $TEX: $AP = QB$$ . Sean $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ los segundos puntos de intersección de las rectas $TEX: $CP$$ y $TEX: $CQ$$ con $TEX: $\Gamma$$ , respectivamente. Las rectas $TEX: $AB$$ y $TEX: $EF$$ se cortan en $TEX: $G$$ . Demuestre que la recta $TEX: $DG$$ es tangente a $TEX: $\Gamma$$ . Problema 5: Don Miguel coloca una ficha en alguno de los $TEX: $(n + 1)^2$$ vértices determinados por un tablero de $TEX: $n\times n$$ . Una jugada consiste en mover la ficha desde el vértice en que se encuentra a un vértice adyacente en alguna de las ocho posibles direcciones: $TEX: $\uparrow, \downarrow, \rightarrow, \leftarrow, \nearrow, \searrow, \swarrow, \nwarrow$$ siempre y cuando no se salga del tablero. Un recorrido es una sucesión de jugadas tal que la ficha estuvo en cada uno de los $TEX: $(n + 1)^2$$ vértices exactamente una vez. ¿Cuál es la mayor cantidad de jugadas diagonales ( $TEX: $\nearrow, \searrow, \swarrow, \nwarrow$$ ) que en total puede tener un recorrido? Problema 6: Sean $TEX: $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$$ enteros positivos y $TEX: $P$$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $TEX: $n$$ , $TEX: $P(n)$$ divide a $TEX: $a_1^n+a_2^n+\ldots+a_{2019}^n$$ . Demuestre que $TEX: $P$$ es un polinomio constante. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

naruto2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2019, 06:17 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 266 Registrado: 5-April 12 Miembro Nº: 103.651 Sexo:	Poblema 4 Reflejamos CF respecto del eje de simetria del trapecio isosceles, obtenemos DH con H en Gamma, notamos que <EDH=<EFH tambien igual <PGE ,esto por GB\|\|HF. Se concluye: GEPD es ciclico. Si decimos que <DCB=b entonces <GAD=b y <CBA=180-b. De ambos ciclicos tenemos <DBC=<DEC=<DEP=<DGP. Segun los angulos interiores en el triangulo GDA es <GDA=180-b-<DGP. Tambien <DBA=<CBA-<DBC = 180-b-DGP. Es suficiente probar <DBA=<GDA para resolver que GD es tangente a gamma en D.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 7 2021, 08:40 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P1 $TEX: Para $n\in\mathbb{N}$ tenemos que podemos escribir $n = a_ka_{k-1}...a_0$ donde $a_i\in \{0,1,...,9\}$ con $a_k\neq 0$. Luego, queremos que se cumpla $$ n=\sum_{i=0}^k a_i 10^i = \sum_{i=0}^k a_i^2 $$ y entonces $\sum_{i=1}^k a_i(10^i - a_i) = a_0(a_0 - 1) \ (\ast)$. Si $k = 0$ entonces vemos que $a_0=1$ y por tanto $n=1$. Si $k\geq 1$, entonces $a_k(10^k-a_k)\geq 10^k - 9$ pues $1\leq a_k\leq 9$ luego si $k\geq 2$ entonces $a_k(10^k-a_k)\geq 91$, pero $a_0(a_0-1)\leq 9\cdot 8=72$ por lo que es imposible que se cumpla $(\ast)$ pues todos los términos del lado izquierdo son positivos. Por tanto $k=1$ y entonces $a_1(10-a_1) = a_0(a_0-1)$ donde $a_1\neq 0$. Notar que el lado derecho siempre es un número par, luego $a_1$ debe ser par. Luego, para $a_1\in \{2,4,6,8\}$ vemos que en ningún caso existe $a_0$ que cumpla la igualdad, de donde se concluye que el único número que cumple lo pedido es $n=1$.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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