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LX IMO (2019)

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ElGatoSaez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2019, 07:45 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 138 Registrado: 23-January 17 Desde: Concepción Miembro Nº: 149.792 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{center}<br />60 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA<br /><br />Bath, Reino Unido, 2019<br /><br />Primera prueba. Martes, 16 de julio de 2019<br />\end{center}<br /><br />\textbf{Problema 1:} Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. Determinar todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$,<br /><br />$$ f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))$$<br /><br />\textbf{Problema 2:} En el triángulo ABC, el punto $A_{1}$ está en el lado $BC$ y el punto $B_1$ está en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. y $\angle PP_1C = \angle BAC$. Análogamente, sea $Q_1$ un punto en la recta $QA_1$ distinto de $A_1$, con $A_1$ entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q = \angle CBA$. <br /><br />Demostrar que los puntos $P$, $Q$, $P_1$ y $Q_1$ son concíclicos.<br /><br />\textbf{Problema 3:} Una red social tiene 2019 usuarios, algunos de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez:<br /><br />\setlength{\leftskip}{1cm}<br /><br />Tres usuarios $A$, $B$ y $C$ tales que $A$ es amigo de $B$ y de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian su estado de amistad de modo que $B$ y $C$ ahora son amigos, pero $A$ ya no es amigo ni de $B$ ni de $C$. Las otras relaciones de amistad no cambian.<br /><br />\setlength{\leftskip}{0cm}<br /><br />Inicialmente, hay $1010$ usuarios que tienen $1009$ amigos cada uno, y hay $1009$ usuarios que tienen $1010$ amigos cada uno. Demostrar que hay una sucesión de este tipo de eventos después de la cual cada usuario es amigo como máximo de uno de los otros usuarios.<br /><br />$ $TEX: <br /><br />\begin{center}<br /><br />Miércoles, 17 de julio de 2019<br /><br />\end{center}<br /><br />\textbf{Problema 4:} Encontrar todos los pares $(k, n)$ de enteros positivos tales que<br /><br />$$ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}) $$<br /><br />\textbf{Problema 5:} El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en una cara y una $T$ en la otra. Harry tiene $n$ monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente $k > 0$ monedas con la $H$ hacia arriba, Harry voltea la k-ésima moneda contando desde la izquierda; en caso contrario, todas las monedas tienen la $T$ hacia arriba y él se detiene. Por ejemplo, si $n = 3$ y la configuración inicial de $THT$, el proceso sería $THT \rightarrow HHT \rightarrow HTT \rightarrow TTT$, que se detiene después de tres operaciones.<br /><br />\setlength{\leftskip}{1cm}<br /><br />(a) Demostrar que para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el proceso se detiene después de un número finito de operaciones<br /><br />(b) Para cada configuración inicial $C$, sea $L©$ el número de operaciones que se realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$. Determinar el valor promedio de $L©$ sobre todas las $2^n$ posibles configuraciones de $C$.<br /><br />\setlength{\leftskip}{0cm}<br /><br />\textbf{Problema 6:} Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB \neq AC$. La circunferencia inscrita (o incírculo) $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ nuevamente en $R$. La recta $AR$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$. Las circunferencias circunscritas (o circuncírculos) de los triángulos $PCE$ y $PBF$ se cortan nuevamente en $Q$. <br /><br />Demostrar que las rectas $DI$ y $PQ$ se cortan en la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AI$.<br /><br />$ -------------------- INTROSPECTIVE. Pet Shop Boys