propuesto mechon que se respeta 2

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propuesto mechon que se respeta 2, un par de sumas simpaticas.

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Almighty Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2019, 04:11 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 42 Registrado: 24-November 17 Miembro Nº: 155.020 Nacionalidad: Sexo:	pude hacer la primera, la segunda la desarrolle y me encontré con una telescópica pero no cacho que pasa cuando el ultimo valor de la sumatoria es infinito,podría tomarlo como 0,por que seria 1/infinito y eso es un numero super chico? alguien que me ayude, con esa la hago[attachment=48880:ejercici...infinita.jpg] Mensaje modificado por Almighty el May 22 2019, 04:48 PM Archivo(s) Adjunto(s) ejercicio_duda_telescopica_infinita__2_.jpg ( 1.01mb ) Número de descargas: 7

hermite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2019, 12:03 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558	CITA(Almighty @ May 22 2019, 04:11 PM) pude hacer la primera, la segunda la desarrolle y me encontré con una telescópica pero no cacho que pasa cuando el ultimo valor de la sumatoria es infinito,podría tomarlo como 0,por que seria 1/infinito y eso es un numero super chico? alguien que me ayude, con esa la hago[attachment=48880:ejercici...infinita.jpg] $TEX: Lamentablemente no puedes multiplicar las sumas asi, en general<br />$$ \sum_{n = 1}^\infty a_n b_n \not = \sum_{n = 1}^\infty a_n\sum_{n = 1}^\infty b_n$$<br />Es facil encontrar contraejemplos incluso en el caso de sumas finitas, por ejemplo<br />$$ (1\cdot 1 + 1\cdot 2) \not= (1 + 1)\cdot(1 + 2)$$<br />Incluso si obviamos esto, en la ultima linea hay por magicamente transformaste un producto en resta.<br /><br />Sobre la duda de telescopicas infinitas, si puedes hacerlo. Tienes que recordar que una serie es el limite de sumas finitas , por lo que<br />$$\sum_{n = 1}^\infty a_n - a_{n + 1} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n = 1}^N a_n - a_{n + 1} = \lim_{N \rightarrow \infty} a_1 - a_{N + 1} = a_1 - \lim_{N \rightarrow \infty} a_{N+1} = a_1 - \lim_{N \rightarrow \infty} a_{N}$$<br /><br />$

sergio 77 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 23 2019, 03:20 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 408 Registrado: 18-January 11 Desde: soy del colegio san viator de macul no de ovalle. Miembro Nº: 83.168 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />Notemos que<br />\begin{align}<br />\dfrac{1}{n^2(n+1)^2} &= \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)^2\nonumber\\<br />&=\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{(n+1)^2} - \dfrac{2}{n(n+1)}\nonumber\\<br />&=\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{(n+1)^2} - 2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)<br />\end{align}<br />Luego, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2(n+1)^2} = 2\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}\right) -1-2=\dfrac{\pi^{2}}{3} -3.$<br />Por otro lado, notemos que<br />\begin{align}<br />\dfrac{1}{n^3(n+1)^3} &= \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)^3\nonumber\\<br />&=\dfrac{1}{n^3} - \dfrac{1}{(n+1)^3} - \dfrac{3}{n^2 (n+1)}+ \dfrac{3}{n(n+1)^2}\nonumber\\<br />&=\dfrac{1}{n^3} - \dfrac{1}{(n+1)^3} + \dfrac{3}{n(n+1)}\left(\dfrac{1}{n+1} -\dfrac{1}{n}\right)\nonumber\\<br />&=\dfrac{1}{n^3} - \dfrac{1}{(n+1)^3} -\dfrac{3}{n^2 (n+1)^2}<br />\end{align}<br />Asi, por (a), se sigue que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3(n+1)^3}=1-3\left(\dfrac{\pi^2}{3} -3\right) =10-\pi^2$.<br />$ -------------------- Tercer lugar Olimpiadas del Conocimiento Usach 2011 - Matemáticas

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