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> propuesto ISO9001, desigualdad isoperimetrica en el triangulo.
2.718281828
mensaje Mar 12 2019, 03:31 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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(1)Suponga que tiene una varilla de largo l y la divide en tres segmentos de tal manera de que se forma un triángulo. Si A, es el area de dicho triangulo, pruebe que
TEX: $$A \leq \frac{l^2}{12 \sqrt{3}}$$ con igualdad si el triángulo es equilátero.

(2) Definamos TEX: $$E=\frac{12 \sqrt{3} A}{l^2}$$. Encuentre el maximo valor de E dentro de los triángulos rectángulos.



--------------------
Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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black-lotus
mensaje Mar 17 2019, 12:45 PM
Publicado: #2


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a

TEX: $\frac{\left( -X+Y+Z \right)+\left( X-Y+Z \right)+\left( X+Y-Z \right)}{3}\ge \sqrt[3]{\left( -X+Y+Z \right)\left( X-Y+Z \right)\left( X+Y-Z \right)}$

TEX: ${{\left( \frac{X+Y+Z}{3} \right)}^{3}}\ge \left( -X+Y+Z \right)\left( X-Y+Z \right)\left( X+Y-Z \right)$

TEX: $\frac{{{\left( X+Y+Z \right)}^{3}}}{27}\ge \left( -X+Y+Z \right)\left( X-Y+Z \right)\left( X+Y-Z \right)$

TEX: $\frac{{{\left( X+Y+Z \right)}^{2}}}{3\sqrt{3}}\ge \sqrt{\left( X+Y+Z \right)\left( -X+Y+Z \right)\left( X-Y+Z \right)\left( X+Y-Z \right)}$

TEX: $\frac{{{\left( X+Y+Z \right)}^{2}}}{12\sqrt{3}}\ge \sqrt{\frac{X+Y+Z}{2}\cdot \frac{-X+Y+Z}{2}\cdot \frac{X-Y+Z}{2}\cdot \frac{X+Y-Z}{2}}$

TEX: $\frac{{{L}^{2}}}{12\sqrt{3}}\ge A$

b.
TEX: $<br />E=12\sqrt{3}\frac{A}{{{L}^{2}}}=12\sqrt{3}\frac{\sqrt{\left( \frac{X+Y+Z}{2} \right)\left( \frac{-X+Y+Z}{2} \right)\left( \frac{X-Y+Z}{2} \right)\left( \frac{X+Y-Z}{2} \right)}}{{{\left( X+Y+Z \right)}^{2}}}=3\sqrt{3}\frac{\sqrt{\left( X+Y+Z \right)\left( -X+Y+Z \right)\left( X-Y+Z \right)\left( X+Y-Z \right)}}{{{\left( X+Y+Z \right)}^{2}}}<br />$

TEX: $<br />=3\sqrt{3}\frac{\sqrt{\left( -{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}+{{Z}^{2}}+2YZ \right)\left( {{X}^{2}}-{{Y}^{2}}-{{Z}^{2}}+2YZ \right)}}{{{\left( X+Y+Z \right)}^{2}}}\underbrace{=}_{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}={{Z}^{2}}}\frac{3\sqrt{3}\cdot 2Y\sqrt{{{Z}^{2}}-{{Y}^{2}}}}{2\left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} \right)+2XY+2Z\left( X+Y \right)}=\frac{3\sqrt{3}XY}{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}+XY+Z\left( X+Y \right)}<br />$

TEX: $<br />\underbrace{\le }_{Z\le X+Y}\frac{3\sqrt{3}XY}{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}+XY+{{Z}^{2}}}=\frac{3\sqrt{3}XY}{2\left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} \right)+XY}\le \frac{3\sqrt{3}XY}{2XY+XY}=\sqrt{3}<br />$

Mensaje modificado por black-lotus el Mar 17 2019, 02:39 PM
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