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> Desigualdad en el Triángulo, Un problemita de Facebook
black-lotus
mensaje Feb 14 2019, 09:05 PM
Publicado: #1


Matemático
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Sean TEX: $$a$$, TEX: $$b$$, TEX: $$c$$ los lados de un triángulo
Pruebe que

TEX: $${{\left( -a+b+c \right)}^{-a+b+c}}\cdot {{\left( a-b+c \right)}^{a-b+c}}\cdot {{\left( a+b-c \right)}^{a+b-c}}\ge {{a}^{-a+b+c}}\cdot {{b}^{a-b+c}}\cdot {{c}^{a+b-c}}$$

Mi solución sólo es con desigualdad de las medias zippytecito.gif podría usted dar una solución sin usar Jensen ni esas desigualdades ¿?

Mensaje modificado por black-lotus el Feb 14 2019, 09:08 PM
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Uchiha_Madara
mensaje Feb 14 2019, 10:26 PM
Publicado: #2


Matemático
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TEX: \[\begin{array}{l}<br />{\rm{Simplificando la expresion con:}}\\<br />{\rm{x =  - a + b + c}}\\<br />{\rm{y = a - b + c}}\\<br />z = a + b - c\\<br />{(\frac{x}{{y + z}})^x}{(\frac{y}{{x + z}})^y}{(\frac{z}{{x + y}})^z} \ge {(\frac{1}{2})^{x + y + z}}\\<br />{\rm{De la propiedad triangular:}}\\<br />{\rm{b' + c' < a'}}\\<br />{\rm{a' + c' < b'}}\\<br />{\rm{a' + b' < c'}}\\<br />\frac{1}{{{{(b' + c')}^{a'}}}} < \frac{1}{{a{'^{a'}}}}\\<br />\frac{{a{'^{a'}}}}{{{{(b' + c')}^{a'}}}} < 1,{\rm{ aplicando lo mismo para las demas expresiones se llega a que}}\\<br />0 < \frac{{a{'^{a'}}}}{{{{(b' + c')}^{a'}}}} \cdot \frac{{b{'^{b'}}}}{{{{(a' + c')}^{b'}}}} \cdot \frac{{c{'^{c'}}}}{{{{(a' + b')}^{c'}}}} < 1,{\rm{ Uniendo con la expresion en cuestion}}\\<br />{(\frac{1}{2})^{x + y + z}} < 1<br />\end{array}\]
Lo cual lo ultimo es siempre verdad, ya que x+y+z=a+b+c>0

Mensaje modificado por Uchiha_Madara el Feb 15 2019, 12:53 PM


--------------------
Estudiante de Ingeniería
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black-lotus
mensaje Feb 14 2019, 10:39 PM
Publicado: #3


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CITA(Uchiha_Madara @ Feb 14 2019, 10:26 PM) *
TEX: \[\begin{array}{l}<br />{\rm{Simplificando la expresion con:}}\\<br />{\rm{x =  - a + b + c}}\\<br />{\rm{y = a - b + c}}\\<br />z = a + b - c\\<br />{(\frac{x}{{y + z}})^x}{(\frac{y}{{x + z}})^y}{(\frac{z}{{x + y}})^z} \ge {(\frac{1}{2})^{x + y + z}}\\<br />{\rm{De la propiedad triangular:}}\\<br />{\rm{b' + c' < a'}}\\<br />{\rm{a' + c' < b'}}\\<br />{\rm{a' + b' < c'}}\\<br />\frac{1}{{{{(b' + c')}^{a'}}}} < \frac{1}{{a{'^{a'}}}}\\<br />\frac{{a{'^{a'}}}}{{{{(b' + c')}^{a'}}}} < 1,{\rm{ aplicando lo mismo para las demas expresiones se llega a que}}\\<br />0 < \frac{{a{'^{a'}}}}{{{{(b' + c')}^{a'}}}} \cdot \frac{{b{'^{b'}}}}{{{{(a' + c')}^{b'}}}} \cdot \frac{{c{'^{c'}}}}{{{{(a' + b')}^{c'}}}} < 1,{\rm{ Uniendo con la expresion en cuestion}}\\<br />{(\frac{1}{2})^{x + y + z}} < 1<br />\end{array}\]


no me parece la conclusión, a seguir intentando
slds
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SuKeVinBellaKo
mensaje Feb 15 2019, 02:06 AM
Publicado: #4


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CITA(black-lotus @ Feb 14 2019, 09:05 PM) *
Sean TEX: $$a$$, TEX: $$b$$, TEX: $$c$$ los lados de un triángulo
Pruebe que

TEX: $${{\left( -a+b+c \right)}^{-a+b+c}}\cdot {{\left( a-b+c \right)}^{a-b+c}}\cdot {{\left( a+b-c \right)}^{a+b-c}}\ge {{a}^{-a+b+c}}\cdot {{b}^{a-b+c}}\cdot {{c}^{a+b-c}}$$

Mi solución sólo es con desigualdad de las medias zippytecito.gif podría usted dar una solución sin usar Jensen ni esas desigualdades ¿?


wub.gif idolo. Quiza algun dia vivanco hasta resuelva la hipotesis de riemann solo usando el teorema de pitagoras happy.gif
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