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Divisibilidad, de la ONM 2016

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laRataPRO Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 27 2018, 03:41 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 62 Registrado: 19-June 18 Miembro Nº: 157.872	$TEX: <br />El número natural $a_n$ se obtiene de escribir juntos y ordenados, en notación decimal, todos los números naturales entre $1$ y $n$. Así tenemos por ejemplo que<br />\begin{equation}<br />a_1 = 1, a_2 = 12, a_3 = 123, \ldots, a_{11} = 1234567891011, \ldots<br />\end{equation}<br />Determine todos los valores de $n$ para los cuales $a_n$ no es divisible por $3$.<br />$ Aquí mi solución. No estoy 100% seguro de que esté buena, así que estoy abierto a críticas: $TEX: <br />Sea $d(n)$ la suma de los dígitos de $n$, recordemos que $n mod 3 = d(n) mod 3 \longrightarrow (3 \| n \leftrightarrow 3 \| d(n) = 0)$<br /><br />De acuerdo con el enunciado, $d(a_{n+3}) = d(a_{n}) + d(n+1) + d(n+2) + d(n+3)$ para todo natural $n$. Notar que $d(n+1) + d(n+2) + d(n+3)$ es dividible por $3$.<br /><br />Dado lo anterior, tenemos que $d(a_{n+3})$ es divisible por 3 si y sólo si $d(n)$ es divisible por 3.<br /><br />Dada la proposición anterior y (1), tenemos: $a_n mod 3 = a_{n+3} mod 3$.<br /><br />Si $n = 1$, entonces $a_n = a_1 = 1$, por lo que si $n - 1$ es divisible por $3$ entonces $a_n mod 3 = 1$ ($a_1 mod 3 = a_4 mod 3 = \ldots = 1$)<br /><br />Si $n = 2$, entonces $a_n = a_2 = 12$, por lo que si $n - 2$ es divisible por $3$ entonces $a_n mod 3 = 0$ ($a_2 mod 3 = a_5 mod 3 = \ldots = 0$)<br /><br />Si $n = 3$, entonces $a_n = a_3 = 123$, por lo que si $n$ es divisible por $3$ entonces $a_n mod 3 = 0$ ($a_3 mod 3 = a_6 mod 3 = \ldots = 0$)<br /><br />Luego, $a_n$ no es divisible por $3$ para todo natural $n$ tal que $n-1$ es divisible por $3$.<br />$ Mensaje modificado por laRataPRO el Nov 27 2018, 04:07 PM

Jesús Koreano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2018, 01:37 AM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 12 Registrado: 7-November 13 Miembro Nº: 124.201 Sexo:	Está correcto, pero te pudo haber quedado un poco más corto: Como bien notaste si 3 divide a a_n entonces 3 divida a la suma de los dígitos de a_n, pero esta última equivale simplemente a n(n+1)/2, por lo que si 3 divide a n+2 ( o un equivalente a este mod 3) entonces a_n no es divisible por 3

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