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> Cuántos primos
ElGatoSaez
mensaje Nov 10 2018, 03:32 PM
Publicado: #1


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¿Cuántos números primos TEX: $p, q, r$ existen de tal forma que TEX: $p^q + p^r$ es un cuadrado perfecto?

(Lo saqué de Internet, quiero pedir disculpas si el enunciado no se entiende, la verdad no tengo idea si se pueda resolver con los datos que entrega, si es así, disculpas y cerramos el tema D:

edit: Debería decir

Encontrar todos los primos TEX: $p, q, r$ que existen de tal forma que TEX: $p^q + p^r$ es un cuadrado perfecto

Mensaje modificado por ElGatoSaez el Jan 20 2019, 08:39 PM


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hermite
mensaje Nov 10 2018, 06:14 PM
Publicado: #2


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CITA(ElGatoSaez @ Nov 10 2018, 03:32 PM) *
¿Cuántos números primos TEX: $p, q, r$ existen de tal forma que TEX: $p^q + p^r$ es un cuadrado perfecto?

(Lo saqué de Internet, quiero pedir disculpas si el enunciado no se entiende, la verdad no tengo idea si se pueda resolver con los datos que entrega, si es así, disculpas y cerramos el tema D:


Tal como esta escrito el enunciado no es muy interesante puesto que es facil encontrar infinitas soluciones, por lo que cambiare la pregunta a "Entontrar todos los primos tales que ..."

TEX: Primero supongamos que $q = r$, en tal caso nos preguntamos si<br />$$x = 2 p^q$$<br />es un cuadrado perfecto. Pero es facil ver que $p$ es necesariamente $2$ pues en caso contrario $2$ divide a $x$ una sola vez por lo que no puede ser cuadrado perfecto. Por lo tanto tenemos infinitas soluciones (estas son las que hacia referencia al principio)<br />$$p = 2, r = q \mbox{ primo impar}$$<br />$$x = 2 (2^q)= (2^{\frac{q + 1}{2}})^2$$<br />En caso que $q \not= r$, por la simetria del problema, podemos suponer que $q < r$.<br />$$x = p^q + p^r = p^q(1 + p^{r - q})$$<br />Como $p^q$ y $1 + p^{r - q}$ son comprimos, necesariamente ambos son cuadrados perfectos. En particular esto implica que $ q$ es par y por lo tanto $q = 2$. Entonces para que $x$ sea un cuadrado perfecto, es necesario que<br />$$( 1 + p^{r - q}) = y^2$$<br />$$p ^{r - q} = y^2 - 1= (y + 1)(y - 1)$$<br />Pero el unico factor en comun que pueden tener $(y + 1)$ e $(y - 1)$ es $2$ y $p^{r -q}$ es impar por lo que necesariamente<br />$$p^{r - 2} = y + 1$$<br />$$1 = y -1 $$<br />(La otra posible descomposicion implicaria que $p^{r - 2}$ es menor que $1$).<br /> de donde obtenemos $y = 2$, $p^{r - 2} = 3 \Rightarrow p = 3, r = 3$, que corresponde a<br />$$ x = 3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36 = 6^2$$<br />que es la unica solución en este caso( y su simetrica $p = 2, q = 3, r= 2$.<br /><br />
Interesante problema.

Mensaje modificado por hermite el Nov 10 2018, 06:15 PM
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ElGatoSaez
mensaje Nov 10 2018, 06:25 PM
Publicado: #3


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CITA(hermite @ Nov 10 2018, 08:14 PM) *
Tal como esta escrito el enunciado no es muy interesante puesto que es facil encontrar infinitas soluciones, por lo que cambiare la pregunta a "Entontrar todos los primos tales que ..."

Interesante problema.

Como? No entendí cómo quedaría el enunciado al fin y al cabo

Y sí, interesante problema, lo saqué de algún lugar de Internet, fue de un test de entrada para un campamento matemático en Francia el año pasado, y pensé que a la gente de acá le interesaría el problema.

Saludos, meow.


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