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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Esta es una de las más complicadas de la historia de la OIM. Como una opinión general que comparto. Recuerdo que estos enunciados no son textuales, por derechos de copia, pero mantengo la idea.
<span style='font-size:14pt;line-height:100%'>10ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS</span> <span style='font-size:11pt;line-height:100%'>Valparaíso, Chile, 1995</span> Primera Prueba: Martes 26 de Septiembre Problema 1: Encuentre todos los posibles valores para la suma de los dígitos de un cuadrado perfecto Problema 2: Sea ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Segunda Prueba: Miércoles 27 de Septiembre ![]() ![]() Problema 5: En un ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 6: Una función ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Resumen de soluciones: -------------------- |
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Publicado:
#2
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
CITA(xsebastian @ Nov 16 2005, 10:23 PM) Problema 1: Encuentre todos los posibles valores para la suma de los dígitos de un cuadrado perfecto Recordemos que la suma de los dígitos de todo número deja el mismo resto que el mismo número cuando se divide por 9. (Demostración) Ahora, todo entero es congruente en módulo 9 con uno de los siguientes números: ![]() Y todo cuadrado de entero es congruente en módulo 9 con uno de los siguientes números: ![]() Pero como estos últimos también son congruentes en módulo 9 con la suma de los dígitos de los cuadrados perfectos (por lo probado anteriormente), tenemos el problema resuelto... Es decir, todas las posibles sumas de dígitos de cuadrados perfectos son las que dejan resto cero, uno, cuatro y siete al dividirlas por nueve... -------------------- Bachiller en Ciencias
(ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile ![]() |
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Publicado:
#3
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Demostraste que los valores posibles están contenidos en el conjunto de naturales congruentes con 0, 1, 4, 7. Pero no has demostrado la inclusión inversa. Te doy un ejemplo: 1984 pertenece a una de estas clases de equivalencia, pero no has demostrado que exista un cuadrado perfecto cuyos dígitos sumen 1984
Si completas esta respuesta, aprovecha de hacerlo editando tu propio mensaje -------------------- |
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Publicado:
#4
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 2:
Por la desigualdad de Shwarz se tiene que: ![]() Luego: ![]() Entonces: ![]() Pero como ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Luego la expresión nos queda: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Publicado:
#5
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Tenemos una solución correcta para el problema 2, por Luffy. Aquí viene una nueva demostración
Como todos los números ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -------------------- |
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Publicado:
#6
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Sea AX=XD=t, AF=x. Por potencia del punto A, con respecto al incírculo:
![]() Sea BF=BD=y. Usando la relación de Stewart en el triángulo ABD, para la mediana BX: ![]() ![]() Dividiendo las igualdades (*2) y (*3): ![]() Por el Teorema de Thales, se puede concluir que ![]() ![]() ![]() Sabemos que EFYZ es un trapecio con circunferencia circunscrita. Entonces es un trapecio isósceles, por lo tanto sus diagonales son congruentes, es decir, EY=FZ. -------------------- |
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Publicado:
#7
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Continuando la discusión con respecto al problema 5, propongo el siguiente problema:
Problema 5': Con las mismas hipótesis del problema 5, pruebe que las rectas EY, FZ y AD son concurrentes. -------------------- |
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Publicado:
#8
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![]() Doctor en Matemáticas ![]() Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Solucion P5':
Saludos!! ![]() |
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Publicado:
#9
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
P3
Saludos! -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside |
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