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> Circunferencie y otres cosites
Laðeralus
mensaje Jun 15 2018, 07:09 PM
Publicado: #1


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TEX: Sean $p>q>0$, y denote las coordenadas $P=(p,0)$, $Q=(0,q)$ y $O$ el origen.<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Demuestre que la circunferencia $C$ que pasa por $P,Q$ y $O$ es<br />\[x^2-px+y^2-qy=0\]<br />Indique su centro, radio y área.<br /><br />\item Muestre que $\displaystyle \frac{\text{Área de C}}{\text{Área triángulo OPQ}} \geq \pi$<br /><br />\item Encuentre los valores de los ángulos $\measuredangle QPO$ y $\measuredangle OQP$, si<br />\[ \frac{\text{Área de C}}{\text{Área triángulo OPQ}} = 2\pi \]<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />

Saludes

Mensaje modificado por Laðeralus el Jun 15 2018, 07:11 PM
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mensaje Jun 15 2018, 09:15 PM
Publicado: #2


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1). Le ecuacione generale de le circunferencie es TEX: $x^2+y^2+bx+cy+d=1$ donde reemplazando en P,Q y O obtenemos facilmente b=p, c=q y d=0. de ahi que facil ver que le centre es (p/2,q/2) y le radie es TEX: $\frac 12(\sqrt{p^2+q^2})$ y le aree es TEX: $\frac{\pi}{4}(p^2+q^2)$

2) El area de le triangule rectangule OPQ es pq/2. Luego, le desigualdade viene de usar AM-GM.

3) Le razone equivale a decir TEX: $p^2+q^2=4pq$ o bien TEX: $(q-2p)^2=3p^2$, lo cual da TEX: $q=(2\pm\sqrt{3})p$, pero por las condiciones elegimos el signo menos. de aqui que TEX: $\tan \theta=(2 -\sqrt{3})$ y me parece que corresponde a un triangulo 15-75-90...

Saludos


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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Fmat dejame subir mas citas!
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Laðeralus
mensaje Jun 15 2018, 10:19 PM
Publicado: #3


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CITA(2.718281828 @ Jun 15 2018, 09:15 PM) *
1). Le ecuacione generale de le circunferencie es TEX: $x^2+y^2+bx+cy+d=1$ donde reemplazando en P,Q y O obtenemos facilmente b=p, c=q y d=0. de ahi que facil ver que le centre es (p/2,q/2) y le radie es TEX: $\frac 12(\sqrt{p^2+q^2})$ y le aree es TEX: $\frac{\pi}{4}(p^2+q^2)$

2) El area de le triangule rectangule OPQ es pq/2. Luego, le desigualdade viene de usar AM-GM.

3) Le razone equivale a decir TEX: $p^2+q^2=4pq$ o bien TEX: $(q-2p)^2=3p^2$, lo cual da TEX: $q=(2\pm\sqrt{3})p$, pero por las condiciones elegimos el signo menos. de aqui que TEX: $\tan \theta=(2 -\sqrt{3})$ y me parece que corresponde a un triangulo 15-75-90...

Saludos


Exacto!
Saludes!
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