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> propuesto bastante nice 5, Esto se ha puesto bidimensional.
2.718281828
mensaje May 14 2018, 07:19 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Sea TEX: $f:]1,\infty[^2 \to \mathbb{R}$ una función definida por TEX: $f(x,y)=\log_x y+\log_y x$.

Pruebe que para todo TEX: $(x,y) \in ]1,\infty[^2$, TEX: $f(x,y)\geq 2$ e indique el lugar geométrico donde se alcanza el mínimo.

Saludos
Claudio.



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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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sergio 77
mensaje May 16 2018, 10:36 AM
Publicado: #2


Dios Matemático
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Desde: soy del colegio san viator de macul no de ovalle.
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TEX:  Sean $x,y>1$. Hagamos el cambio de variables $u=\ln(x)$ y $v=\ln(y)$. Entonces $u,v>0$ y $f(u,v)=\dfrac{v}{u} +\dfrac{u}{v} = \dfrac{u^{2}+v^{2}}{uv}\geq 2$ pues $(u-v)^{2}\geq 0$. Además, la igualdad se alcanza cuando $u=v$, es decir, cuando $x=y$ ya que $\ln(\cdot)$ es inyectiva .


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Tercer lugar Olimpiadas del Conocimiento Usach 2011 - Matemáticas
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