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Division por n

LittleKesha Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 28 2018, 04:28 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 41 Registrado: 10-April 17 Desde: Italia Miembro Nº: 150.783 Sexo:	Demostrar que, sin embargo, se asignan $TEX: n$ enteros positivos, siempre es posible elegir algunos de ellos tal que su suma sea múltiplo de $TEX: n$ .

Floripondio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2018, 12:03 AM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 1-April 14 Miembro Nº: 128.188 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ y sean $TEX: ${a}_{1},\dots ,{a}_{n}$$ números naturales. Consideremos la función $TEX: $\displaystyle f(k)=\sum_{j=1}^{k}{a}_{j} (mod\text{ }n)$$ Si hay algún $TEX: $k_0\in\mathbb{N}$$ tal que $TEX: $f(k_0)=0$$ , entonces tenemos que $TEX: $\sum_{j=1}^{k_0}{a}_{j}$$ es divisible por $TEX: $ n$$ . Si no existe tal $TEX: $ k_0$$ , entonces $TEX: $ f$$ toma valores entre $TEX: $ 1$$ y $TEX: $n-1 $$ . Luego, por palomar, $TEX: $ f$$ no es inyectiva. Por lo que existen $TEX: $ k_1,k_2\in\left\{1,\dots ,n\right\}$$ tales que $TEX: $ f(k_1)=f(k_2)$$ Supongamos sin pérdida de generalidad que $TEX: $ k_1<k_2$$ Luego, $TEX: $f(k_2)-f(k_1)= 0 $$ Entonces, $TEX: $\displaystyle \sum_{j=k_1}^{k_2}{a}_{j}$$ es divisible por $TEX: $n$$ . Demostrando así lo pedido.

LittleKesha Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2018, 12:17 AM Publicado: #3
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 41 Registrado: 10-April 17 Desde: Italia Miembro Nº: 150.783 Sexo:	Gracias Floripondio, solución muy clara y elegante!

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2018, 01:09 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	CITA(LittleKesha @ Apr 28 2018, 04:28 PM) Demostrar que, sin embargo, se asignan $TEX: n$ enteros positivos, siempre es posible elegir algunos de ellos tal que su suma sea múltiplo de $TEX: n$ . bonito problema, lo intenté y no pude, tenía una solución simple

Kolmogorov's... Kolmogorov's Eddy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2018, 12:28 AM Publicado: #5
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 53 Registrado: 28-January 18 Miembro Nº: 155.613 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No me manejo mucho con la competencia, pero pensé en otra opción con combinatoria. Las combinaciones que representan un sistema desordenado con reemplazo es equivalente a $TEX: $$ x_1+x_2+...+x_n=k, \textrm{ donde } x_i \in \{0,1,2,3,...\}, \forall i \in N \hspace{50pt} $$$ donde las combinaciones son en efecto $TEX: $${n+k-1 \choose k}={n+k-1 \choose n-1}$$$ Luego, si k es múltiplo de n, digamos $TEX: $k=an$$ , nos quedaría $TEX: $${n+an-1 \choose an}={n+an-1 \choose n-1}$$$ Y el valor existe y es posible ya que la expresión nos dará un valor entero. De hecho nos da la cantidad de opciones posibles de que sean múltiplos de k (dependiendo de a claramente, nunca tan pro el resultado). ¿Sería una respuesta válida para este nivel? Mensaje modificado por Kolmogorov's Eddy el Apr 30 2018, 12:41 AM

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2018, 12:16 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kolmogorov @ Apr 30 2018, 12:28 AM) No me manejo mucho con la competencia, pero pensé en otra opción con combinatoria. Las combinaciones que representan un sistema desordenado con reemplazo es equivalente a $TEX: $$ x_1+x_2+...+x_n=k, \textrm{ donde } x_i \in \{0,1,2,3,...\}, \forall i \in N \hspace{50pt} $$$ donde las combinaciones son en efecto $TEX: $${n+k-1 \choose k}={n+k-1 \choose n-1}$$$ diría que la respuesta no está ni cerca de ser correcta cómo sabes que existen dichas combinaciones? los n elementos son fijos, no variables, por lo tanto no tiene sentido fijar un k y preguntarse por las combinaciones que suman k, si ya la suma de los x_i está fija o entendí muy mal, o explicas muy mal, o derechamente no entendiste el problema saludos kevin el flaite matemático

Kolmogorov's... Kolmogorov's Eddy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2018, 02:05 PM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 53 Registrado: 28-January 18 Miembro Nº: 155.613 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(SuKeVinBellaKo @ May 1 2018, 12:16 AM) diría que la respuesta no está ni cerca de ser correcta cómo sabes que existen dichas combinaciones? los n elementos son fijos, no variables, por lo tanto no tiene sentido fijar un k y preguntarse por las combinaciones que suman k, si ya la suma de los x_i está fija o entendí muy mal, o explicas muy mal, o derechamente no entendiste el problema saludos kevin el flaite matemático Creo que yo entendí muy mal ahora, pero no me parece muy alejado de la pregunta. Esas combinaciones existen y se hace con conteo, el problema no radica ahí. El problema podría radicar en la arbitrariedad del k en el planteamiento. Lo único que trate de hacer es encontrar todas las combinaciones posibles y abusar de esa arbitrariedad de k, y dado que existen esas combinaciones para un k que yo fijo. Y entiendo que puede haber problema ahí, porque no demuestro la divisibilidad, sino abuse del k. ¿Eso querías decir, o te entendí mal ahora yo? Jaja. Suena complicado para un alumno de colegio demostrar la existencia de esas combinaciones, por eso pregunte si era válido para este nivel plantear algo así. Espero que se haya entendido !

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2018, 03:24 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	El primer problema grave que veo en tu solución es que los números x_i no están libres como los estás tomando tu, el problema te dice que los x_i deberías tomarlos entre n números fijos, y sin repetir. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Kolmogorov's... Kolmogorov's Eddy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2018, 03:45 PM Publicado: #9
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 53 Registrado: 28-January 18 Miembro Nº: 155.613 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ May 1 2018, 03:24 PM) El primer problema grave que veo en tu solución es que los números x_i no están libres como los estás tomando tu, el problema te dice que los x_i deberías tomarlos entre n números fijos, y sin repetir. Ahora si entendí. Comprendí mal el problema como decía Kevin. Gracias por hacerme ver el error, de nuevo.

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