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> Laplace
Kimioo
mensaje Apr 9 2018, 09:43 AM
Publicado: #1


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Hallar la transformada de la siguiente función

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Kolmogorov's...
mensaje Apr 12 2018, 11:27 PM
Publicado: #2


Matemático
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No era trivial, y fue entrete zippyyeahbt5.gif

Sea el polinomio de Taylor del seno centrado en cero

TEX: $ \displaystyle \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad $

Cambiando TEX: $x= \sqrt{t} $ y manteniendo el Taylor centrado en cero, pero para t positivo

TEX: $ \sin \sqrt{t} = \displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (\sqrt{t})^{2n+1} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (t)^{n+\frac{1}{2}} \quad $

Luego aplicamos Laplace por definición e intercambiando la integral por la serie. Hay que tener cuidado, por que si, la suma de la integral, es la integral de suma, pero y si son infinitos sumados, ¿se puede?. (Si, se puede, gracias a un lema de los Teoremas de Convergencia Dominada y Monótona)

TEX: $ \mathcal{L} \{\sin \sqrt{t}\} (s) = \displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-st}\sin\sqrt{t}\,dt = \int_{0}^{+\infty}e^{-st}\ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(t)^{n+\frac{1}{2}} dt\ = $
TEX: $ \displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \int_{0}^{+\infty}e^{-st} (t)^{n+\frac{1}{2}} dt = \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \mathcal{L}\{(t)^{n+\frac{1}{2}}\} (s) \quad $

Luego, el paso complejo viendo tablas TEX: $ \mathcal{L} \{t^n f(t)\} (s) $ o TEX: $ \mathcal{L} \{t^{n-\frac{1}{2}}\} (s) $ o haciéndolo por definición usando propiedades de función gamma

TEX: $ \displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \mathcal{L}\{(t)^{n+\frac{1}{2}}\} (s) = \frac{ \sqrt\pi}{2s^\frac{3}{2}}-\frac{ 3\sqrt\pi}{3!2^2s^\frac{5}{2}} + \frac{ 3*5\sqrt\pi}{5!2^4s^\frac{7}{2}} - ..$
TEX: $=\displaystyle\frac{ \sqrt\pi}{2s^\frac{3}{2}}(1-\frac{ 1}{4s}+\frac{ 1}{2!{4s}^2}-...)=\frac{ \sqrt\pi}{2s^\frac{3}{2}} \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-\frac{ 1}{4s})^{n}}{n!}} \quad $

Reconociendo la serie como Taylor de la funciónTEX: $ \displaystyle e^{\frac{-1}{4s}} $

TEX: $ \displaystyle \mathcal{L} \{\sin \sqrt{t}\} (s)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,\frac{1}{s^{\frac{3}{2}}}\,e^{\frac{-1}{4s}} $

Finalmente utilizando la propiedad TEX: $ \displaystyle \mathcal{L} \{ (f'(t)\} (s)<br />={ sF(s)-f(0^{+})\ }$, con TEX: $ \displaystyle f'(t) = 2 \sin \sqrt{t}, f(t)=\frac{\cos \sqrt{t}}{\sqrt{t}}) $

En conclusión, la solución final es TEX: $ \mathcal{L} \displaystyle \{ \frac{\cos \sqrt{t}}{ \sqrt{t}} \}(s) = \sqrt{\frac{\pi}{s}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{4s}}$


Punto aparte, encontre mejor este otro hint encontrado en Mathexchange para calcular TEX: $ \displaystyle \mathcal{L} \{\sin (\sqrt{t}\} (s) $ resolver la siguiente ecuación diferencial y luego resolverlo con Laplace para una condición inicial en cero conveniente: TEX: $ 4tf''(t) +2 f'(t) + a^2 f(t)=0 $

Mensaje modificado por Kolmogorov's Eddy el Apr 12 2018, 11:42 PM
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