Trasnformación Lineal dado su núcleo y que cumpla que su imagen esté contenida en el núcleo Opciones

[Mathias20]

Buenas, como podría saber si existe una transformación lineal tal que dado el núcleo, la imagen de ésta esté incluida en su núcleo. Dejo captura de la pregunta (es un verdadero o falso):





Gracias.

[Kolmogorov's...]

2 preguntas:
1) Que dice el teorema de la dimensión sobre el Nucleo y la Imagen de una transformación lineal?
2) Estas seguro que ese N(T) es un Núcleo? Dónde esta definido el Núcleo, en el domino de T o en su recorrido?

Escribe $p(x)$ como un polinomio de orden 4 cualquiera (con coeficientes a,b,c,d,e) y ve que cumple ese N(T) y si aquello que cumple es en efecto una transformación lineal.

Suerte!

Mensaje modificado por Kolmogorov's Eddy el Jan 29 2018, 12:06 AM

[Mathias20]

Respondo las 2 preguntas:
1) dim(N(T)) + dim(Im(T)) = dim(dominio)
2) Sí, está definido en su dominio. Es el conjunto de vectores del dominio tal que transformados dan el nulo del codominio.

El problema ya lo resolví, la cosa es así, la dimensión del núcleo es 2 (polinomios de grado impar menor o igual a 4), además como la Im(T) ⊆ N (T) la Im(T) debe tener dimensión menor o igual a 2. Por el teorema de las dimensiones (dim (Espacio de salida) = dim KerT + dim Im T) sumando las dimensiones del núcleo y la máxima que puede tener la imagen, nos queda 4, pero aplicando el teorema debería dar 5 (dimensión de los polinomios de grado menor o igual a 4). Por lo tanto no es posible construir esa transformación.


Igual estoy buscando algún ejercicio similar en el que sí se hubiese podidio construír la transformación. En ese caso, sería armar la base de V que incluya al Núcleo (para T: V --> W) completando con los vectores que falten para que sea de la dimensión de V y después...?

Saludos

[Kolmogorov's...]

Respondo las 2 preguntas:
1) dim(N(T)) + dim(Im(T)) = dim(dominio)
2) Sí, está definido en su dominio. Es el conjunto de vectores del dominio tal que transformados dan el nulo del codominio.

El problema ya lo resolví, la cosa es así, la dimensión del núcleo es 2 (polinomios de grado impar menor o igual a 4), además como la Im(T) ⊆ N (T) la Im(T) debe tener dimensión menor o igual a 2. Por el teorema de las dimensiones (dim (Espacio de salida) = dim KerT + dim Im T) sumando las dimensiones del núcleo y la máxima que puede tener la imagen, nos queda 4, pero aplicando el teorema debería dar 5 (dimensión de los polinomios de grado menor o igual a 4). Por lo tanto no es posible construir esa transformación.

Saludos

Bien! Te respondiste solo, nunca podrás encontrar esa transformación (al menos en dimensión finita) si fuese un Kernel, ya que en conjunto con la Imagen generas el dominio. Si fuera que Im(T) ⊆ Ker (T) nunca podrías completar la base ya que independiente de la dimensión (suponiendo que Kernel tiene mayor dimensión) su suma directa no generará el espacio.
A lo que voy, es que ese N(T) no es claro si pertenece al dominio o recorrido a la primera, pero definir p(x)=-p(-x) y definir p(x)+p(-x) = 0 puede hacer la diferencia entre ser un Kernel y no serlo. Ese es el tema principal ahora.